No começo do século XX, os matemáticos queriam construir a matemática inteira a partir de uma só ideia, a de conjunto. Mas o que é, nessa linguagem, o número $3$? Georg Cantor tinha falado de “ordinais”, números que medem posições numa fila: primeiro, segundo, terceiro, e depois de todos os finitos, um primeiro infinito, $\omega$. Faltava dizer o que esses números são, como conjuntos.

Em 1923, aos 19 anos, von Neumann publicou um artigo curto, Sobre a introdução dos números transfinitos, com uma resposta tão econômica que se tornou a definição padrão.

Cada número é o conjunto dos anteriores

A regra é uma só: um ordinal é o conjunto de todos os ordinais menores que ele. Começando do nada:

$$0 = \varnothing,\qquad 1 = \{0\} = \{\varnothing\},\qquad 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\},$$$$3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.$$

Em geral, o sucessor de um número é ele mesmo com ele mesmo acrescentado:

$$n + 1 = n \cup \{n\}.$$

Três coisas ficam automáticas com essa definição:

  • O número $n$ tem exatamente $n$ elementos: $3$ tem os elementos $0$, $1$ e $2$. Contar até $n$ é percorrer os elementos de $n$.
  • “Menor que” vira “pertence a”: $m < n$ quer dizer $m \in n$. E também “está contido em”: $2 \subset 3$.
  • Tudo é construído a partir do conjunto vazio. Não é preciso supor que os números existam: eles são fabricados com chaves.
Uma representação em árvore da construção dos ordinais finitos. O nó 4 se liga a 0, 1, 2 e 3; cada ramo desdobra os elementos desses conjuntos até chegar ao conjunto vazio, representado por 0.
Uma representação em árvore da construção dos ordinais finitos. O nó 4 se liga a 0, 1, 2 e 3; cada ramo desdobra os elementos desses conjuntos até chegar ao conjunto vazio, representado por 0.Ondřej Pavlata · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

Além do infinito

A mesma regra continua. O conjunto de todos os números naturais,

$$\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\},$$

é o primeiro ordinal infinito: ele é o conjunto de todos os ordinais menores que ele, exatamente como os anteriores. Depois vem $\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$, depois $\omega + 2$, e assim por diante, até $\omega \cdot 2$, $\omega^2$, $\omega^\omega$… Cantor tinha descrito essa escada; von Neumann deu a cada degrau uma construção concreta.

Dois anos depois, na tese de doutorado, von Neumann propôs um sistema de axiomas para a teoria dos conjuntos que distinguia os conjuntos das classes, coleções grandes demais para serem conjuntos, como “todos os conjuntos”. Com ajustes de Paul Bernays e Kurt Gödel, esse sistema ficou conhecido como NBG, e ainda é uma das duas formas mais usadas de fundamentar a matemática.

Exercício: escreva o 4

Escreva o ordinal $4$ usando só os números anteriores e depois conte as chaves de abrir $\{$ que aparecem quando tudo é escrito com $\varnothing$.

$4 = \{0, 1, 2, 3\}$. Escrito só com $\varnothing$, cada número $n$ usa uma chave externa e as chaves dos seus elementos. Chamando de $c(n)$ o número de chaves de abrir, $c(0) = 0$ e $c(n+1) = 1 + c(0) + c(1) + \cdots + c(n)$. Então $c(1) = 1$, $c(2) = 2$, $c(3) = 4$, $c(4) = 8$: o número de chaves dobra a cada passo, $c(n) = 2^{n-1}$.

Exercício: menor é pertencer

Verifique que $1 \in 3$ e $1 \subset 3$, mas $3 \notin 1$.

$3 = \{0, 1, 2\}$ contém $1$ como elemento, logo $1 \in 3$. E $1 = \{0\}$, cujo único elemento, $0$, também está em $3$, logo $1 \subset 3$. Já $1 = \{0\}$ não tem $3$ entre os seus elementos, então $3 \notin 1$, como deve ser, pois $3$ não é menor que $1$.

Fontes: John von Neumann, “Zur Einführung der transfiniten Zahlen”, Acta Sci. Math. Szeged (1923) · Jean van Heijenoort (org.), From Frege to Gödel (1967) · George Pólya, The Pólya Picture Album (1987).

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