James Bernoulli viveu só cinquenta anos e publicou pouco em vida, quase tudo em artigos curtos nas Acta Eruditorum. Mesmo assim, poucos matemáticos deixaram tantas palavras, símbolos e ideias que ainda usamos todos os dias: integral, ensaio de Bernoulli, distribuição binomial, números de Bernoulli, lei dos grandes números, estocástico.

A palavra integral

Leibniz chamava a operação inversa da derivada de calculus summatorius, o cálculo das somas, e a escrevia com o $\int$, um S alongado de summa. Em maio de 1690, ao resolver o problema da isócrona, Jakob escreveu que as duas expressões tinham “integrais iguais”. Foi a primeira vez que a palavra integral apareceu impressa num texto de matemática. Johann adotou o termo, e em 1696 Leibniz concordou em trocar o seu “cálculo sumatório” pelo cálculo integral dos Bernoulli. O símbolo ficou o de Leibniz; o nome, o de Jakob.

Ano Autor Notação ou nome Onde
1659 Pietro Mengoli omnia $x$ Geometriae speciosae elementa
1675 Leibniz $\int x$ manuscrito de 29 de outubro de 1675
1690 Jakob Bernoulli “integral” Acta Eruditorum
1696 Leibniz e Johann Bernoulli calculus integralis cartas
1822 Fourier $\int_a^b f(x)\,dx$ Théorie analytique de la chaleur

A corrente pendurada

No mesmo artigo de 1690, Jakob perguntou qual é a forma de uma corrente pendurada pelas duas pontas. Galileu tinha achado que era uma parábola. Em 1691, Johann, Leibniz e Huygens publicaram a resposta correta, a catenária, que hoje se escreve com o cosseno hiperbólico, $y=a\cosh\frac xa$. Jakob perdeu a corrida para o irmão, mas a pergunta era dele. A história da catenária está na trilha de Johann.

De Moivre e a curva normal

O teorema de ouro dizia que a frequência se aproxima da probabilidade, mas a estimativa de Jakob para o número de observações era muito exagerada. Em 1733, o francês Abraham de Moivre, refugiado em Londres, procurou uma aproximação melhor para os termos do binômio quando $n$ é grande e encontrou a curva em forma de sino,

$$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.$$

Era a primeira aparição da curva normal, que Laplace e Gauss transformariam no centro da estatística. Com ela, a urna de Jakob precisa de cerca de 6 500 retiradas, e não das 25 550 que ele calculou.

O desafio vencido

Jakob morreu sem saber quanto vale $1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots$. Trinta anos depois, Leonhard Euler, aluno de Johann, mostrou que a soma é $\frac{\pi^2}6$. Mais tarde, Euler descobriu algo ainda mais surpreendente: os números que Jakob tinha encontrado para as somas de potências reaparecem ali. A soma dos inversos das potências pares é sempre $\pi$ elevado a essa potência vezes uma fração feita com um número de Bernoulli. Por exemplo,

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6,\qquad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$

Os dois problemas de Jakob, o das séries e o das potências, eram no fundo o mesmo problema.

O que ficou

  • Probabilidade. A Ars conjectandi transformou os cálculos de jogos numa teoria da certeza. A distribuição binomial e o ensaio de Bernoulli estão em qualquer curso de estatística.
  • Estatística. O teorema de ouro é a razão pela qual pesquisas, ensaios clínicos e controle de qualidade funcionam: muitas observações independentes revelam a probabilidade escondida.
  • Séries. A divergência da série harmônica e a pergunta sobre os quadrados abriram o caminho de Euler.
  • Análise. Os números de Bernoulli aparecem nas séries de $\tan x$, na fórmula de Euler-Maclaurin e na função zeta de Riemann.
  • Cálculo. A palavra integral, a isócrona, a catenária e o problema isoperimétrico, que preparou o cálculo das variações de Euler e Lagrange.
  • Curvas. A espiral logarítmica e a lemniscata, com a integral que abriu a teoria das funções elípticas.

Para lembrar

  • James (Jakob) Bernoulli viveu de 1655 a 1705, em Basileia. Estudou teologia por obediência e matemática por gosto, e aprendeu o cálculo de Leibniz sozinho.
  • Os juros compostos levam ao número $e=\lim\left(1+\frac1n\right)^n\approx2{,}718$, que está entre 2 e 3.
  • A série harmônica $1+\frac12+\frac13+\cdots$ passa de qualquer número; a soma dos inversos dos quadrados fica abaixo de 2.
  • A espiral logarítmica $r=ae^{b\theta}$ cresce sem mudar de forma e corta todos os raios no mesmo ângulo.
  • A chance de $k$ sucessos em $n$ ensaios é $\binom nk p^kq^{n-k}$.
  • Quanto mais observações, mais a frequência se aproxima da probabilidade: é a lei dos grandes números.
  • As somas $1^m+2^m+\cdots+n^m$ são polinômios em $n$ cujos coeficientes vêm dos números de Bernoulli.

Fontes: biografia de Jacob Bernoulli, MacTutor · Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. II (1929), §§ 541–544 · Stephen M. Stigler, The History of Statistics (Harvard, 1986).

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