Agnesi morreu em 1799 sem imaginar que a sua curva teria uma segunda vida, longe da geometria. No século XIX ela reapareceu na teoria das probabilidades, como um dos exemplos mais traiçoeiros da estatística.

Uma densidade de probabilidade

Vimos em A área sob a curva que a área total sob $y = \frac{1}{1 + x^2}$ é $\pi$. Dividindo por $\pi$, a área passa a ser 1, e a curva se torna uma densidade de probabilidade:

$$f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}.$$

É a distribuição de Cauchy. A chance de um sorteio cair entre $c$ e $d$ é a área sob a curva nesse intervalo, $\frac{1}{\pi}(\arctan d - \arctan c)$. Desenhada, ela parece muito com a curva normal: um sino simétrico centrado em zero. A diferença está nas caudas. A normal cai como $e^{-x^2/2}$, depressa demais para que valores enormes apareçam; a curva de Agnesi cai só como $\frac{1}{x^2}$.

A média que não existe

Essa diferença tem uma consequência espantosa. A média de uma distribuição é a integral de $x\,f(x)$. Para a distribuição de Cauchy, a integral da metade positiva é

$$\int_0^{X} \frac{x}{\pi(1 + x^2)}\,dx = \frac{1}{2\pi}\ln(1 + X^2),$$

que cresce sem limite quando $X$ cresce. A parte negativa faz o mesmo para o outro lado, e a conta fica “infinito menos infinito”: a distribuição não tem média. Também não tem variância.

Na prática, isso quer dizer que a média de muitos sorteios não se estabiliza. A lei dos grandes números e o teorema do limite central, que exigem média e variância finitas, simplesmente não se aplicam. Pior: pode-se demonstrar que a média de $n$ sorteios de Cauchy tem exatamente a mesma distribuição que um sorteio só. Juntar dados não ajuda em nada.

A mediana, por outro lado, funciona muito bem: metade da área está à esquerda de zero e metade à direita, e a mediana de muitos sorteios se aproxima de zero. Por isso os estatísticos usam a curva de Agnesi como alerta: antes de calcular médias, é bom saber se as caudas dos dados são leves ou pesadas.

Poisson, Cauchy e a física

O primeiro a notar o problema foi Siméon-Denis Poisson, em 1824, que usou essa distribuição como contraexemplo à teoria dos erros de Laplace. O nome veio de Augustin-Louis Cauchy, que a discutiu em 1853 numa polêmica com Irénée-Jules Bienaymé sobre o método dos mínimos quadrados.

Na física a mesma curva aparece com outro nome, lorentziana, em homenagem a Hendrik Lorentz. Ela descreve a forma das linhas nos espectros de átomos e moléculas, a resposta de um oscilador perto da ressonância e, na física de partículas, a forma dos picos que revelam partículas instáveis (a fórmula de Breit–Wigner). Sempre que algo oscila e perde energia aos poucos, a bruxa de Agnesi tende a aparecer.

Exercício: os quartis

Qual é a probabilidade de um sorteio de Cauchy cair entre $-1$ e $1$?

$\frac{1}{\pi}(\arctan 1 - \arctan(-1)) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$. Metade dos sorteios cai entre $-1$ e $1$: esses são os quartis da distribuição. Para a normal padrão, metade cai entre $-0{,}674$ e $0{,}674$; a de Cauchy é mais “espalhada” no meio e muito mais nas caudas.

Exercício: o farol

No problema do farol, o ângulo $\theta$ entre o pulso e a perpendicular à praia é sorteado uniformemente entre $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, e o pulso atinge a praia no ponto $x = \tan\theta$. Mostre que $x$ tem densidade $\frac{1}{\pi(1 + x^2)}$.

A probabilidade de o pulso cair à esquerda de $x$ é a de $\theta$ ser menor que $\arctan x$: $F(x) = \frac{\arctan x + \frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{1}{2} + \frac{\arctan x}{\pi}$. A densidade é a derivada: $F'(x) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1 + x^2}$. É a curva de Agnesi dividida por $\pi$.

Fontes: Siméon-Denis Poisson, “Sur la probabilité des résultats moyens des observations”, Connaissance des temps (1824) · Augustin-Louis Cauchy, “Sur les résultats moyens d’observations de même nature”, Comptes rendus de l’Académie des sciences 37 (1853) · Stephen M. Stigler, “Cauchy and the Witch of Agnesi”, Biometrika 61 (1974).

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