Duas semirretas com a mesma origem formam um ângulo. E o primeiro teorema sobre ângulos tem até um descobridor com nome.

Quem descobriu

Segundo Proclo (século V d.C.), que citava a História da Geometria de Eudemo de Rodes, foi Tales de Mileto (c. 624–546 a.C.) quem primeiro percebeu que ângulos opostos pelo vértice são iguais; Euclides só depois o demonstrou “cientificamente”, na proposição I.15. A definição de ângulo como “inclinação de duas linhas” está nos Elementos de Euclides (definição I.8).

Figura de A Escola de Atenas atribuída a Eudemo de Rodes; identificação incerta.
Figura de A Escola de Atenas atribuída a Eudemo de Rodes; identificação incerta.Rafael Sanzio; recorte da reprodução por Jic e FranksValli · Wikimedia Commons · Domínio público
Tales de Mileto, representação artística posterior.
Tales de Mileto, representação artística posterior.Luca Giordano · Wikimedia Commons · Domínio público
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

O que é, afinal, um ângulo? Proclo registra que os antigos discutiam se ele seria uma quantidade (algo que se mede), uma qualidade (como uma forma) ou uma relação entre duas linhas. A definição moderna evita a discussão: ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem.

A atribuição a Tales vem de autores que viveram muitos séculos depois dele, e não temos nenhum texto do próprio Tales. Mesmo assim, ela é valiosa: mostra que os gregos já viam nele o início de uma geometria em que os fatos precisam de justificativa.

No dia a dia

  • Tesoura e alicate. Ao abrir as lâminas, os cabos se abrem no mesmo ângulo: são ângulos opostos pelo vértice.
  • Ponteiros do relógio. Às 3 h formam um ângulo reto; às 6 h, um ângulo raso.
  • Abertura de portas. Uma porta com amortecedor abre no máximo até certo ângulo para não bater na parede.
  • Campo de visão. Câmeras de celular informam o ângulo que conseguem enxergar; a “grande angular” abrange mais.

Fontes: Tales (MacTutor) · Elementos, proposição I.15 · Elementos, definição I.8.

Teoria e construções

DefiniçãoÂngulo

Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem, não contidas numa mesma reta (não colineares).

$$A\hat{O}B = \overrightarrow{OA} \cup \overrightarrow{OB}$$

O ponto $O$ é o vértice do ângulo, e as semirretas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$ são os lados. Também escrevemos $a\hat{O}b$ ou simplesmente $\widehat{ab}$, quando $a$ e $b$ são os lados.

DefiniçãoInterior e exterior

  • O interior de $A\hat{O}B$ é a interseção de dois semiplanos abertos: $\alpha_1$, com origem na reta $OA$ e que contém $B$, e $\beta_1$, com origem na reta $OB$ e que contém $A$. O interior de um ângulo é convexo.
  • A reunião de um ângulo com seu interior é um setor angular (também chamado “ângulo convexo”).
  • O exterior de $A\hat{O}B$ é o conjunto dos pontos que não pertencem nem ao ângulo nem ao seu interior: é a reunião dos semiplanos abertos opostos a $\alpha_1$ e a $\beta_1$. O exterior é côncavo.

A figura abaixo é um ângulo sobre um transferidor. Arraste $B$ e alterne entre o interior, o exterior e o suplementar adjacente (veja a seção IV).

Arraste $B$. O transferidor mede $A\hat{O}B$ em graus e classifica o ângulo.

Ângulos consecutivos, adjacentes e opostos pelo vértice

DefiniçãoConsecutivos e adjacentes

  • Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é também lado do outro.
  • Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns.
$A\hat{O}B$ e $A\hat{O}C$ são consecutivos com lado comum $\overrightarrow{OA}$, mas não são adjacentes. $A\hat{O}B$ e $B\hat{O}C$ são adjacentes.

DefiniçãoOpostos pelo vértice (o.p.v.)

Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as semirretas opostas aos lados do outro.

Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.