Os logaritmos serviam para os grandes cálculos da astronomia. Para as contas do dia a dia, Napier inventou outra coisa, publicada em 1617, o ano da sua morte, num livrinho chamado Rabdologia, do grego rhabdos, vara, e lógos, cálculo: cálculo com varetas.

As barras

Cada barra, ou “osso”, porque as mais caras eram feitas de marfim, traz no alto um algarismo de 0 a 9 e, embaixo, os seus múltiplos de 1 a 9, em nove quadradinhos cortados por uma diagonal. Acima da diagonal fica a dezena; abaixo, a unidade. A barra do 7, por exemplo, mostra $0/7$, $1/4$, $2/1$, $2/8$, $3/5$, $4/2$, $4/9$, $5/6$, $6/3$.

Um conjunto de ossos de Napier do século XVII, com o estojo, no Museu Whipple, em Cambridge.
Um conjunto de ossos de Napier do século XVII, com o estojo, no Museu Whipple, em Cambridge.Marsupium · Wikimedia Commons · domínio público

Como se multiplica

Para calcular $425\times6$, ponha lado a lado as barras do 4, do 2 e do 5 e olhe a sexta linha:

$$4\times6=24\ \to\ 2/4,\qquad2\times6=12\ \to\ 1/2,\qquad5\times6=30\ \to\ 3/0.$$

Agora some ao longo das diagonais, da direita para a esquerda. A primeira diagonal só tem o 0. A segunda tem o 3 e o 2: dá 5. A terceira tem o 1 e o 4: dá 5. A última só tem o 2. O resultado é

$$425\times6=2550.$$

As diagonais fazem automaticamente o “vai um” da multiplicação comum: cada dezena de um produto cai na mesma diagonal da unidade do produto seguinte. Quando uma diagonal passa de 9, o excesso vai para a próxima, como na soma.

Multiplicadores grandes

Para multiplicar por um número de vários algarismos, como $425\times36$, lê-se a linha 6 e a linha 3, uma de cada vez, e somam-se os resultados com as casas certas:

$$425\times36=425\times30+425\times6=12\,750+2\,550=15\,300.$$

A grande vantagem é que ninguém precisava saber a tabuada de cor: bastava ler e somar. Os ossos se espalharam pela Europa em poucos anos e foram usados até o século XIX. Na Rabdologia, Napier também descreveu o promptuário, uma caixa de tiras mais sofisticada que fazia multiplicações maiores sem nenhuma soma escrita.

Exercício: calcule 736 × 8 com os ossos.

As barras do 7, do 3 e do 6, na oitava linha, mostram $5/6$, $2/4$ e $4/8$. As diagonais, da direita para a esquerda, dão: 8; $4+4=8$; $2+6=8$; 5. Então $736\times8=5888$.

Exercício: na conta 87 × 9, o que acontece quando uma diagonal passa de 9?

As barras do 8 e do 7, na nona linha, mostram $7/2$ e $6/3$. As diagonais: 3; $6+2=8$; 7. Resultado: $783$. Já em $98\times7$, as barras mostram $6/3$ e $5/6$, e as diagonais dão 6, $5+3=8$ e 6: $686$. Se uma diagonal desse, por exemplo, 13, escreveríamos o 3 e somaríamos 1 à diagonal seguinte, exatamente como no “vai um” da soma.

Fontes: John Napier, Rabdologiae, seu numerationis per virgulas libri duo (Edimburgo, 1617) · William Frank Richardson (trad.), Rabdology (MIT Press, 1990) · Julian Havil, John Napier: Life, Logarithms, and Legacy (2014).

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