Robert Recorde inventou o $=$ em 1557 com uma justificativa simples: nenhuma coisa é mais igual do que duas paralelas de mesmo comprimento (o capítulo 1 conta essa história, no texto sobre os sinais das operações). O sinal pegou tão bem que hoje faz trabalhos que Recorde nunca imaginou. Veja estas linhas:

$$3+4=7,\qquad 2x+1=7,\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$$$f(x)=x^2,\qquad \tfrac12=\tfrac24.$$

O sinal é o mesmo em todas. O que ele diz, não.

  • Em $3+4=7$, o igual registra um resultado. É a leitura que a calculadora ensina.
  • Em $2x+1=7$, o igual faz uma pergunta: para que número isto é verdade? É uma equação.
  • Em $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, o igual enuncia uma lei, válida para todos os números. É uma identidade.
  • Em $f(x)=x^2$, o igual dá um nome: daqui em diante, $f(x)$ quer dizer $x^2$. É uma definição.
  • Em $\frac12=\frac24$, o igual diz que duas escritas diferentes apontam para o mesmo número.

Os textos seguintes deste capítulo tratam de cada um desses trabalhos. Antes, vale perguntar o que eles têm em comum.

As três leis do igual

Por volta de 300 a.C., Euclides abriu os Elementos com algumas “noções comuns”, verdades que ele achava óbvias demais para precisar de prova. A primeira é esta:

Coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.

— Euclides, Elementos, livro I, noção comum 1

Hoje essa frase se chama transitividade: se $A=B$ e $B=C$, então $A=C$. Junto com duas outras, ela forma o retrato de qualquer igualdade:

Propriedade Em símbolos Em palavras
Reflexiva $A=A$ toda coisa é igual a si mesma
Simétrica se $A=B$, então $B=A$ a balança não tem lado preferido
Transitiva se $A=B$ e $B=C$, então $A=C$ iguais a uma mesma coisa são iguais entre si

São essas três leis que permitem encadear contas, $A=B=C=D$, e concluir que o primeiro termo vale o último. Toda a álgebra escolar depende delas, e quase nunca elas são ditas em voz alta.

Os parentes do igual

Quando um trabalho do igual ficou importante o bastante, a matemática lhe deu um sinal próprio. O resultado é uma família de sinais parecidos, cada um com a sua leitura:

Sinal Leitura Exemplo Vale a simetria?
$=$ é igual a $3+4=7$ sim
$\equiv$ é idêntico a; é côngruo a $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x\equiv1$; $17\equiv2\pmod5$ sim
$:=$ é definido como $f(x):=x^2$ não: o nome novo fica sempre à esquerda
$\approx$ é aproximadamente $\pi\approx3{,}14$ sim
$\cong$ é congruente a (figuras) $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ sim
$\sim$ é semelhante a $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ sim
$\Leftrightarrow$ equivale a (frases) $2x=6\Leftrightarrow x=3$ sim

Repare na última coluna. O $:=$ não é simétrico: escrever $x^2=:f(x)$ é possível, mas o sinal muda de forma para manter o nome novo junto dos dois-pontos. E o $\approx$, que parece tão inocente, esconde uma armadilha que o primeiro exercício mostra: ele não é transitivo.

Iguais que quebram as regras

Há um igual que todo estudante de computação conhece e que viola a simetria de propósito. Quando se escreve

$$n^2+n=O(n^2),$$

o sinal quer dizer “cresce no máximo como”. Mas não faz sentido escrever $O(n^2)=n^2+n$, e de $n=O(n^2)$ e $n^2=O(n^2)$ ninguém conclui que $n=n^2$. O matemático holandês Nicolaas de Bruijn chamou esse uso de igualdade de mão única. O sinal certo seria $\in$, de pertencer: $n^2+n\in O(n^2)$. O $=$ ficou por tradição.

Exercício: o ≈ não é transitivo

Diga que dois números são “aproximadamente iguais” quando diferem menos de $0{,}05$. Então $1\approx1{,}04$ e $1{,}04\approx1{,}08$. Mas $1$ e $1{,}08$ diferem $0{,}08$, e portanto $1\not\approx1{,}08$. Com passos pequenos, uma corrente de $\approx$ pode ir de qualquer número a qualquer outro. É por isso que, numa conta com aproximações, o erro precisa ser acompanhado passo a passo: cada $\approx$ acumula um pouco.

Exercício: que trabalho faz o igual?

(a) $x^2-1=(x-1)(x+1)$. (b) $x^2-1=8$. (c) $g(x)=x^2-1$. (d) $9-1=8$.

(a) Enuncia uma lei: vale para todo $x$, é uma identidade. (b) Faz uma pergunta: só $x=3$ e $x=-3$ servem, é uma equação. (c) Dá um nome: define a função $g$. (d) Registra o resultado de uma conta. Repare que (b) e (d) estão ligadas: (d) é o que se obtém ao substituir $x=3$ em (b), e é assim que se verifica uma solução.

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