Em 1981, três pesquisadores da Universidade de Massachusetts, John Clement, Jack Lochhead e George Monk, propuseram a calouros de engenharia um problema simples:

Escreva uma equação usando as variáveis $E$ e $P$ para a frase: “Nesta universidade, há seis vezes mais estudantes que professores.” Use $E$ para o número de estudantes e $P$ para o número de professores.

Cerca de 37% erraram. E quase todos os que erraram escreveram a mesma coisa:

$$6E=P.$$

Por que 6E = P parece certo

A equação $6E=P$ segue a ordem das palavras: “seis vezes… estudantes… professores”. É uma tradução palavra por palavra, como quem traduz um texto sem entender a frase. Por trás dela está uma leitura da letra como rótulo: $E$ quer dizer “estudantes”, assim como em $6\,\text{m}$ o m quer dizer “metros”. Lida assim, $6E=P$ diz “seis estudantes para cada professor”, que é exatamente a ideia certa.

O problema é que, na equação, $E$ não é a palavra “estudantes”: é o número de estudantes. Com $P=100$ professores, há $600$ estudantes, e a equação certa precisa dar $E=600$:

$$E=6P.$$

Para conferir, basta substituir números: com $P=100$, a equação errada daria $6E=100$, ou seja, menos de $17$ estudantes. A letra como rótulo é uma leitura natural, que vem da linguagem cotidiana e das unidades de medida, e precisa ser desaprendida.

As seis leituras de Küchemann

No mesmo ano, o pesquisador inglês Dietmar Küchemann publicou o resultado de um grande estudo com alunos de 13 a 15 anos, o projeto CSMS. Ele mostrou que os alunos dão às letras pelo menos seis interpretações diferentes, das mais simples às mais avançadas:

Leitura da letra O que o aluno faz Exemplo de tarefa
Letra avaliada dá um valor à letra logo de cara se $a+5=8$, quanto vale $a$?
Letra ignorada resolve sem olhar para ela se $e+f=8$, quanto vale $e+f+g$?
Letra como objeto trata a letra como uma coisa $2a+5b+a$ “são 3 maçãs e 5 bananas”
Incógnita específica aceita que a letra é um número desconhecido se $e+f=8$, $e+f+g=8+g$
Número generalizado aceita que a letra pode ser vários números se $c+d=10$ e $c
Variável relaciona como duas letras mudam juntas quem é maior, $2n$ ou $n+2$?

As três primeiras leituras permitem acertar muitas questões sem entender nada de álgebra. Só a partir da quarta a letra passa a ser um número. Küchemann constatou que a maioria dos alunos de 13 anos não chegava lá.

A álgebra das frutas

Muitos professores ensinam a juntar termos semelhantes com uma imagem: “$3a+2b+a$ são $3$ maçãs, $2$ bananas e mais $1$ maçã, logo $4a+2b$.” A conta sai certa, mas a imagem reforça exatamente a leitura que causa o $6E=P$: a letra como abreviação de uma coisa. Com a mesma imagem, $a\cdot b$ não quer dizer nada (o que é maçã vezes banana?), e $a=2b$ parece dizer “uma maçã são duas bananas”. Os pesquisadores chamam essa estratégia de álgebra das frutas e recomendam evitá-la.

Outras armadilhas

  • Juntar algarismos. Se $x=3$, quanto vale $2x$? Alguns alunos respondem $23$. Na aritmética, escrever um algarismo ao lado do outro forma um número; na álgebra, escrever um número ao lado de uma letra multiplica. É a mesma ambiguidade do espaço em branco que o capítulo 2 discutiu.
  • Letras diferentes, números diferentes. Diante de $x+y=10$, muitos alunos acham que $x$ e $y$ não podem ser iguais, porque “se fossem iguais, teriam a mesma letra”. Mas $x=y=5$ é uma solução perfeitamente válida.
  • A letra é sempre uma só coisa. Quem aprendeu que $x$ é “o número que se procura” estranha $y=2x+1$, em que o $x$ não tem um valor só, e ainda mais $f(x)$, em que o $x$ é uma letra muda.
Exercício: quem é maior, 2n ou n + 2?

Depende de $n$. Os dois são iguais quando $2n=n+2$, ou seja, $n=2$. Para $n>2$, $2n$ é maior (com $n=5$: $10$ contra $7$). Para $n<2$, $n+2$ é maior (com $n=0$: $0$ contra $2$). Quem responde “$2n$, porque multiplicar aumenta” está tratando $n$ como um número grande em particular, e não como uma variável.

Exercício: traduza sem inverter

“Num estacionamento há quatro vezes mais carros do que motos.” Use $C$ e $M$ para os números de carros e de motos. A equação certa é $C=4M$. Teste com números: se há $10$ motos, há $40$ carros, e $40=4\cdot10$. A tradução palavra por palavra, $4C=M$, daria $10$ motos para $2{,}5$ carros, ao contrário do enunciado.

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