Euler's Eyes
2026-10-11
Ortocentro — alturas
As três alturas de um triângulo também se encontram num ponto, o ortocentro. Curiosamente, Euclides nunca provou isso.
Quem descobriu
Os Elementos não demonstram que as alturas são concorrentes. A primeira demonstração publicada que se conhece é do inglês William Chapple, em 1749. A mais citada, porém, é de Carl Friedrich Gauss (1810): ele traçou, por cada vértice, a paralela ao lado oposto, formando um triângulo maior; as alturas do triângulo original viram as mediatrizes do maior e, portanto, se encontram. O nome ortocentro (do grego orthos, “reto”) só foi criado no século XIX.
A história
A prova de Gauss é um bom exemplo de como um problema novo pode ser reduzido a outro já resolvido: em vez de estudar as alturas diretamente, ele as transformou em mediatrizes, cuja concorrência Euclides já havia provado.
O ortocentro tem comportamento curioso: fica dentro do triângulo acutângulo, coincide com o vértice do ângulo reto no triângulo retângulo e vai para fora no obtusângulo. Em 1765, Leonhard Euler descobriu que ele está alinhado com o baricentro e o circuncentro, como conta a curiosidade “A reta de Euler”, mais abaixo.
No dia a dia
- Altura de telhados e rampas. A altura de um triângulo é a distância vertical que se mede na obra; a área de uma empena (parede triangular) usa base vezes altura.
- Área de terrenos. Topógrafos calculam a área de lotes triangulares baixando uma altura até o lado escolhido como base.
- Triângulo retângulo. Num esquadro, duas das alturas são os próprios lados perpendiculares, e o ortocentro é o canto reto.
- Treliças. Nas estruturas triangulares, as escoras perpendiculares a um lado seguem as alturas do triângulo.
Fontes: Gauss (MacTutor) · Euler (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaConcorrência das alturas
As três retas suportes das alturas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto.
Demonstração
- Pelos vértices $A$, $B$ e $C$, traçamos retas paralelas aos lados opostos, obtendo um triângulo maior $MNP$, com $A \in \overline{NP}$, $B \in \overline{MP}$ e $C \in \overline{MN}$.
- $APBC$ e $ABCN$ são paralelogramos, então $AP = BC = AN$: $A$ é o ponto médio de $\overline{NP}$.
- Como $\overline{AH_1} \perp \overline{BC}$ e $\overline{NP} \parallel \overline{BC}$, a reta $AH_1$ é perpendicular a $\overline{NP}$ pelo seu ponto médio: é a mediatriz de $\overline{NP}$.
- Do mesmo modo, $BH_2$ e $CH_3$ são as mediatrizes de $\overline{MP}$ e $\overline{MN}$.
- As mediatrizes do $\triangle MNP$ são concorrentes (seção III). Logo as retas das alturas do $\triangle ABC$ passam por um mesmo ponto $H$.
DefiniçãoOrtocentro
O ponto de encontro das retas suportes das alturas é o ortocentro.
ResumoOs quatro pontos notáveis
| Ponto | Encontro das | Propriedade | Posição |
|---|---|---|---|
| Baricentro $G$ | medianas | divide as medianas em $2 : 1$; centro de gravidade | sempre interno |
| Incentro $I$ | bissetrizes internas | equidistante dos lados; centro da inscrita | sempre interno |
| Circuncentro $O$ | mediatrizes | equidistante dos vértices; centro da circunscrita | interno (acutângulo), no ponto médio da hipotenusa (retângulo), externo (obtusângulo) |
| Ortocentro $H$ | alturas | — | interno (acutângulo), no vértice do ângulo reto (retângulo), externo (obtusângulo) |