Euler's Eyes
2026-10-11
Exercícios do capítulo 8 — Pontos notáveis do triângulo
Exercícios e resoluções
Exercício 274 — Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F)
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O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Verdadeiro. É equidistante dos três lados.
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O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Verdadeiro. É equidistante dos três vértices.
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O incentro é interno ao triângulo.
Verdadeiro. As bissetrizes internas ficam dentro do triângulo.
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O baricentro é interno ao triângulo.
Verdadeiro. As medianas ficam dentro do triângulo.
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O ortocentro é interno ao triângulo.
Falso. No obtusângulo ele é externo.
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O circuncentro é interno ao triângulo.
Falso. No obtusângulo ele é externo; no retângulo, fica na hipotenusa.
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O baricentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Falso. Esse é o incentro.
Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos: a) o ortocentro e o baricentro são coincidentes; b) o incentro e o circuncentro são coincidentes; c) o ortocentro é um dos vértices; d) o ortocentro é externo; e) o circuncentro é externo; f) o circuncentro está em um dos lados; g) o ortocentro é um ponto interno.
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a) equilátero · b) equilátero · c) retângulo · d) obtusângulo · e) obtusângulo · f) retângulo · g) acutângulo
Considere os segmentos constituídos pelas três alturas, pelas três medianas e pelas três bissetrizes internas de um triângulo. Quantos desses segmentos, dois a dois distintos, teremos: a) no triângulo equilátero; b) no triângulo isósceles não equilátero; c) no triângulo escaleno?
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a) 3 · b) 7 · c) 9
Sendo $G$ o baricentro do triângulo $ABC$, determine $x$, $y$ e $z$, com $AG = 10$, $BG = y$ e $CG = 14$.
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$x = 7$, $y = 12$ e $z = 5$
Se o quadrilátero $ABCD$ é um paralelogramo e $M$ é ponto médio de $\overline{AB}$, determine $x$, com $DP = 16$ e $PM = x$.
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$x = 8$: trace a diagonal $\overline{BD}$; $P$ é o baricentro do triângulo $ABD$.
Sendo $H$ o ortocentro de um triângulo $ABC$ e $B\hat{H}C = 150^{\circ}$, determine $\hat{A}$.
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$\hat{A} = 30^{\circ}$
Se $H$ é o ortocentro de um triângulo isósceles $ABC$ de base $\overline{BC}$ e $B\hat{H}C = 50^{\circ}$, determine os ângulos do triângulo.
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$25^{\circ}$, $25^{\circ}$ e $130^{\circ}$
Se $P$ é o incentro de um triângulo $ABC$ e $B\hat{P}C = 125^{\circ}$, determine $\hat{A}$.
Ver resposta
$\hat{A} = 70^{\circ}$
O circuncentro de um triângulo isósceles é interno ao triângulo, e duas mediatrizes formam um ângulo de $50^{\circ}$. Determine os ângulos desse triângulo.
Ver resposta
($50^{\circ}$, $50^{\circ}$, $80^{\circ}$) ou ($65^{\circ}$, $65^{\circ}$, $50^{\circ}$)
Considerando congruentes os segmentos com “marcas iguais”, determine os valores das incógnitas nos casos:
Ver resposta
a) $x = 4$ e $y = 6$ · b) $x = 4$
Considerando os quatro pontos notáveis de um triângulo: a) quais os que podem ser externos ao triângulo? b) Qual o que pode ser ponto médio de um lado? c) Qual o que pode ser vértice do triângulo?
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a) o circuncentro e o ortocentro · b) o circuncentro · c) o ortocentro
Em um triângulo $ABC$, os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{B}$ medem, respectivamente, $86^{\circ}$ e $34^{\circ}$. Determine o ângulo agudo formado pela mediatriz relativa ao lado $\overline{BC}$ e pela bissetriz do ângulo $\hat{C}$.
Ver resposta
$60^{\circ}$
Em um triângulo $ABC$, os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{B}$ medem, respectivamente, $70^{\circ}$ e $60^{\circ}$. Determine a razão entre os dois maiores ângulos formados pelas interseções das três alturas.
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$\dfrac{13}{12}$ ou $\dfrac{12}{13}$
Determine as medidas dos três ângulos obtusos formados pelas mediatrizes de um triângulo equilátero.
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$120^{\circ}$ cada
Na figura, $Q$ é o ponto médio de $\overline{AB}$, e $\overline{QP}$ é paralelo a $\overline{BC}$. Sendo $AC = 30$ cm, determine $PO$.
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$PO = 5$ cm
Na figura, $ABCD$ é retângulo, $M$ é o ponto médio de $\overline{CD}$ e o triângulo $ABM$ é equilátero. Sendo $AB = 15$, calcule $AP$.
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$AP = 10$; note que $P$ é o baricentro do triângulo $ACD$.
Determine o perímetro do triângulo $ARS$ da figura, em que $AB$ e $AC$ medem 15 cm e 18 cm, respectivamente, sendo $\overline{BQ}$ e $\overline{CQ}$ as bissetrizes dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ do triângulo $ABC$ e $\overline{RS}$ paralelo a $\overline{BC}$.
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33 cm; note que os triângulos $RBQ$ e $SCQ$ são isósceles.
As três bissetrizes de um triângulo $ABC$ se encontram num ponto $O$. Determine as medidas dos ângulos $A\hat{O}B$, $A\hat{O}C$ e $B\hat{O}C$ em função dos ângulos $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$ do triângulo.
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$A\hat{O}B = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{C}}{2}$; $A\hat{O}C = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{B}}{2}$; $B\hat{O}C = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{A}}{2}$