Quando o lugar é o algoritmo: multiplicação e regra de três

No texto anterior vimos que a posição dos sinais faz parte do sentido de uma fórmula: parênteses, expoentes e barras de fração mostram como as peças se juntam. Há procedimentos inteiros em que essa ideia vai ao extremo: o lugar onde cada número é escrito é o próprio algoritmo. Quem sabe onde pôr os números já sabe fazer a conta. Os antigos textos deste site reuniam três exemplos, de três épocas diferentes.

Os egípcios: multiplicar dobrando

Há mais de três mil e quinhentos anos, os escribas egípcios multiplicavam sem tabuada. Usavam duas colunas: na esquerda, as potências de $2$, começando em $1$; na direita, um dos fatores, sempre dobrado. Para calcular $21\times37$:

Na coluna da esquerda, marcam-se as linhas que somam $21$: $16+4+1=21$. Na da direita, somam-se só as linhas marcadas: $592+148+37=777$. Pronto: $21\times37=777$.

Parece mágica, e os antigos textos do site perguntavam: “isto é misticismo?”. Não é. As marcas da coluna da esquerda escrevem o $21$ em base 2:

e a conta é só a distributividade: $21\times37=(16+4+1)\times37$. Os escribas egípcios faziam aritmética binária mais de três mil anos antes de Leibniz escrever sobre ela. A tabela deles é uma notação: as linhas com ✓ e as linhas sem ✓ são os uns e os zeros.

Pacioli: multiplicar numa janela

Em 1494, o frade franciscano Luca Pacioli publicou em Veneza a Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità, uma enciclopédia de tudo o que um comerciante precisava saber. Entre os métodos de multiplicar, ele ensina um que se faz numa grade cortada por diagonais, e explica o nome:

Chamamos gelosia àquelas grades que se costumam pôr nas janelas das casas onde moram senhoras.

— Luca Pacioli, Summa de arithmetica (1494)

A gelosia era a treliça de madeira que deixava ver a rua sem ser visto. O desenho da conta lembrava essa grade:

Escrevem-se os algarismos de $23$ em cima e os de $12$ à direita. Cada casa recebe o produto dos dois algarismos que a cruzam, com a dezena acima da diagonal e a unidade abaixo: $1\times2=02$, $1\times3=03$, $2\times2=04$, $2\times3=06$. Depois se soma ao longo de cada faixa diagonal, de baixo para cima: $6$; $4+0+3=7$; $0+0+2=2$; $0$. O resultado é $0276$, ou seja, $23\times12=276$.

O segredo está, de novo, no lugar. As faixas diagonais da gelosia são as casas decimais: a primeira guarda as unidades, a segunda as dezenas, a terceira as centenas. A grade faz sozinha o que no algoritmo escolar se faz com o “vai um” e com o deslocamento de cada linha para a esquerda. Os antigos textos do site mostravam a mesma conta numa tabela de casas:

A regra de três: a compra na frente, a pergunta atrás

O terceiro exemplo é o mais famoso. A regra de três nasceu na Índia, onde Brahmagupta já a descrevia em 628 com o nome de trairāśika, “as três quantidades”, e chegou à Europa pelos livros árabes. Ela resolve o problema mais comum do comércio: se tanto custa tanto, quanto custa tanto? Nos livros de aritmética dos séculos XV a XVIII, ela tinha muitos nomes, que os antigos textos deste site reuniram:

“Regra de ouro” diz muito: era a regra mais valiosa que um aprendiz de comerciante podia saber. E ela era ensinada como uma receita de posições. No seu livro de aritmética de 1598, Lautenschlager a resumiu em versos rimados, para decorar:

A compra, o valor e a pergunta em terceiro: o valor fica sempre no meio, a compra na frente, a pergunta atrás. Multiplica o número de trás pelo do meio, divide o produto pelo da frente, e terás a resposta da tua pergunta.

— J. F. Lautenschlager, Arithmetic (1598), versos sobre a regra de três

Na prática, era assim. “Se $3$ varas de pano custam $12$ florins, quanto custam $7$ varas?” O aprendiz escrevia, numa linha:

e aplicava a receita: $7\times12=84$, $84\div3=28$ florins. Não precisava entender proporções. Bastava pôr cada número no seu lugar.

Hoje escrevemos a mesma coisa como uma igualdade de razões, com a incógnita à vista:

Essa escrita começou com William Oughtred, o do $\times$, que em 1631 já separava as duas razões de uma proporção com o sinal $::$, algo como $3.12::7.x$. Ela troca a receita de posições por uma relação. A diferença aparece quando o problema muda.

Onde a receita de posições falha

“Quatro pedreiros fazem um muro em $6$ dias. Em quantos dias $3$ pedreiros fazem o mesmo muro?” Pela receita de Lautenschlager, a compra é $4$, o valor é $6$ e a pergunta é $3$: $3\times6\div4=4{,}5$ dias. Menos pedreiros terminando mais depressa? A receita não sabe o que os números significam; só sabe onde eles estão.

O problema é de grandezas inversamente proporcionais: com menos gente, o trabalho demora mais. O produto “pedreiros vezes dias” é que fica constante: $4\times6=3\times x$, logo $x=8$ dias. Os livros antigos tinham uma segunda receita, a “regra de três inversa”, com outra ordem de posições, e o aluno precisava adivinhar qual usar. As escolas brasileiras resolvem o mesmo dilema com outra notação: duas colunas e duas setas, apontando no mesmo sentido quando as grandezas crescem juntas e em sentidos opostos quando uma cresce e a outra diminui. A seta é um signo que carrega exatamente a informação que faltava na linha de Lautenschlager.

É o que este livro chama de diferença entre notação estéril e notação ativa. A receita de posições funciona enquanto o problema é sempre o mesmo. A escrita de razões, $\frac ab=\frac cx$, ou a do produto constante, $a\cdot b=c\cdot x$, mostra qual relação se está supondo, e por isso continua funcionando quando o problema muda.

Fontes: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · Luca Pacioli, MacTutor · Frank J. Swetz, Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century (1987).

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