O conceito de expoente, como dito começou com Arquimedes, que ao estudar volumes, obteve um número muito, mas muito grande como dito em outro post de potência introdutório. Neste post, vamos falar de potências para expoentes negativos.

Expoentes Negativos

Neste site falamos de potência com expoente inteiro, porém, não falamos dos expoentes negativos, pois o resultado é um número racional, que fazia parte do contexto.

Grafiko's Galileu.

A base da potenciação pode ser um número qualquer. Neste post vamos utilizar os números racionais:

$$\mathbb{Q} = \left\\{\dots, -3, -\dfrac{5}{2},-2, -\dfrac{3}{2} ,-1, -\dfrac{1}{2},0 , \dfrac{1}{2} , 1, \dfrac{3}{2} , 2, \dfrac{5}{2} , 3, \dots\right\\}$$

Já o expoente, neste contexto é um número inteiro.

$$\mathbb{Z} = \\{\dots, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots\\}$$

Potência de 10

Por exemplo, vamos introduzir os números em potência de 10.

Potência de 10 Igual Representação em múltiplo de 10
$10^{-1}$ $=$ $\dfrac{1}{10}=0.1$
$10^{-2}$ $=$ $\dfrac{1}{100}=0.01$
$10^{-3}$ $=$ $\dfrac{1}{1000}=0.001$
$10^{-4}$ $=$ $\dfrac{1}{10000}=0.0001$
$10^{-5}$ $=$ $\dfrac{1}{100000}=0.00001$
$10^{-6}$ $=$ $\dfrac{1}{1000000}=0.000001$
$10^{-7}$ $=$ $\dfrac{1}{10000000}=0.0000001$
$10^{-8}$ $=$ $\dfrac{1}{100000000}=0.00000001$
$10^{-9}$ $=$ $\dfrac{1}{1000000000}=0.000000001$
$10^{10}$ $=$ $\dfrac{1}{10000000000}=0.0000000001$
$10^{11}$ $=$ $\dfrac{1}{100000000000}=0.00000000001$
$10^{12}$ $=$ $\dfrac{1}{1000000000000}=0.000000000001$

Como chegamos aos resultados?

Lembra da balança. Desta forma. vamos usar este método.

Grafiko's Galileu.
$$ \begin{aligned} 10^{-1} &= \color{red}{10^1} ~.~\dfrac{10^{-1} }{\color{red}{10^1} }\\ &= \dfrac{10^{1-1} }{10 }\\ &= \dfrac{10^{0} }{10 }\\ &= \dfrac{1 }{10 }\\ \end{aligned} $$

Potência de 2

Com conceito de potência de 10, podemos falar agora da potência de base 2.

$$ \begin{aligned} 2^{-2} &= \color{red}{2^2} ~.~\dfrac{2^{-2} }{\color{red}{2^2} }\\ &= \dfrac{2^{2-2} }{2^2 }\\ &= \dfrac{1 }{2^2 }\\ &= \dfrac{1 }{4 }\\ \end{aligned} $$
Potência de 2 Igual Resultado
$2^{-1}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{1}}=0.5$
$2^{-2}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{2}}=0.25$
$2^{-3}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{3}}=0.125$
$2^{-4}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{4}}=0.0625$
$2^{-5}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{5}}=0.03125$
$2^{-6}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{6}}=0.015625$
$2^{-7}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{7}}=0.0078125$
$2^{-8}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{8}}=0.00390625$
$2^{-9}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{9}}=0.001953125$
$2^{-10}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{10}}=0.0009765625$

Propriedade de potenciação

A primeira propriedade é da multiplicação entre duas potências.

Multiplicação de potências

$$\text{base}^m ~.~ \text{base}^n = \text{base}^{m+n}$$

Exemplo: Calcule $2^4 ~.~ 2^5.$

$$2^4 ~.~ 2^5 = 2^{4+5} = 2^9$$

Será que vale a propriedade?

Inicialmente chamamos a base de $a$

$$ \begin{aligned} a^m ~.~a^n &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m \text{ vezes} }~.~\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } = \\ &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m+n \text{ vezes} }\\ &= a^{m+n} \end{aligned} $$

Agora a recíproca

$$ \begin{aligned} a^{m+n} &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m+n \text{ vezes} } = \\ &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m \text{ vezes} }~.~\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } \\ &= a^{m} ~.~ a^{n} \end{aligned} $$

A segunda propriedade é da multiplicação entre duas potências.

Divisão de potências

$$\dfrac{\text{base}^a }{\text{base}^b} = \text{base}^{a-b}$$

Exemplo: Calcule $\dfrac{10^5}{10^2}$

$$\dfrac{10^5}{10^2} = 10^{5-2} = 10^3$$

Agora vamos mostrar esta propriedade:

$$ \begin{aligned} \frac{a^m}{a^n} &= \dfrac{\underbrace{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } ~.~ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} } }_{\color{red}{n} + m - \color{red}{n} ~=~ m} }{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }\\ &= \dfrac{ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }~.~ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} }\\ &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} }\\ &= a^{m-n} \end{aligned} $$

A recíproca vamos deixar como exercício.

Vale lembrar que para usarmos esta propriedade, a base deve ser a mesma.

Exemplo: Calcule $\dfrac{10^8 ~.~ 3^2}{3 ~.~10^3}$

Para o cálculo, a propriedade vai ser usada apenas para as potências de mesma base. De fato,

$$\dfrac{10^8 ~.~ 3^2}{3 ~.~10^3} = 10^{8-3} ~.~ 3^{2-1} = 10^5 ~.~3 $$

Inversão de base em potências

$$\left(\dfrac{\text{base 1} }{\text{base 2} }\right)^{-a} = \left(\dfrac{\text{base 2} }{\text{base 1} }\right)^{a}$$

Exemplo: Mostre que $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$

$$ \begin{aligned} \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} &\overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3^{-2} }{2^{-2} } ~.~ \underbrace{\color{red}{\dfrac{3^{2} }{3^{2} } } }_{=1}\\ &= \dfrac{3^{2-2} }{2^{-2}~.~ 3^{2} }\\ &\overset{\text{balança} }{=} \dfrac{1 }{2^{-2}~.~ 3^{2} }~.~ \color{red}{\dfrac{2^{2} }{2^{2} } } \\ &= \dfrac{2^2 }{\underbrace{2^{2-2} }_{\color{red}{2^0=1} }~.~ 3^{2} }\\ &= \dfrac{2^2 }{3^{2} }\\ &= \left(\dfrac{2 }{3 }\right)^2\\ \end{aligned} $$

Estes conceitos são fundamentais, pois sem ela não podemos falar em logaritmo. Aguardem os próximos posts.