Euler's Eyes
2026-10-11
A máquina de Leibniz: transformar contas em movimentos
Em 1642, o jovem Blaise Pascal construiu uma máquina para ajudar o pai, que era cobrador de impostos. A pascalina somava e subtraía girando engrenagens. Para multiplicar, porém, era preciso repetir a soma à mão, várias vezes.
Leibniz viu uma pascalina em Paris e quis ir além: uma máquina que multiplicasse e dividisse sozinha.
Multiplicar é somar e deslocar
O truque é o mesmo da conta armada que aprendemos na escola. Para multiplicar $23\times14$, separamos o 14 em $4+10$:
$$23\times14=23\times4+23\times10=92+230=322.$$Multiplicar por 4 é somar 23 quatro vezes. Multiplicar por 10 é só deslocar o número uma casa para a esquerda. Uma máquina que soma bem e consegue deslocar o número pode, então, multiplicar qualquer coisa.
O cilindro escalonado
O problema era fazer a máquina somar o mesmo número várias vezes sem que o operador tivesse de digitá-lo de novo. A solução de Leibniz foi o cilindro escalonado, em alemão Staffelwalze: um cilindro com nove dentes de comprimentos diferentes, como uma escada enrolada.
Uma pequena engrenagem desliza ao lado do cilindro. Se ela fica na altura do “3”, a cada volta do cilindro só três dentes a alcançam, e ela gira três posições. Se fica na altura do “7”, gira sete. Assim, ao posicionar a engrenagem, você guarda um algarismo na máquina. Cada volta da manivela soma esse algarismo de novo.
Para $23\times4$, posicionamos o 2 e o 3 e giramos a manivela quatro vezes. Depois deslocamos a parte móvel da máquina uma casa e giramos uma vez, para somar $23\times10$. O resultado aparece no mostrador: 322.
O problema do “vai um”
Somar 1 a 9 numa engrenagem decimal faz o mostrador voltar ao 0 e exige que a próxima engrenagem avance uma posição: o “vai um”. Em $9999+1$, quatro engrenagens precisam passar adiante o “vai um” em sequência, no momento certo. Com as peças imprecisas do século XVII, esse era o ponto mais difícil.
Leibniz apresentou um modelo de madeira, ainda incompleto, à Royal Society em 1673. Passou mais de vinte anos aperfeiçoando o projeto com relojoeiros e gastou uma pequena fortuna. Quando a máquina foi examinada em detalhe, no fim do século XIX, descobriu-se que o mecanismo de “vai um” falhava em certos casos. A ideia matemática estava certa; a execução mecânica é que era difícil.
Um mecanismo que durou três séculos
O cilindro escalonado foi a grande herança da máquina. Em 1820, o francês Thomas de Colmar usou a mesma ideia no aritmômetro, a primeira calculadora fabricada em série, vendida até o começo do século XX. Em 1948, a pequena calculadora austríaca Curta, que cabia na palma da mão, ainda funcionava com um cilindro escalonado. Ela só foi aposentada pelas calculadoras eletrônicas, nos anos 1970.
Para Leibniz, a máquina tinha um propósito maior que poupar tempo de contadores. Ela mostrava que um raciocínio, se for escrito com regras precisas, pode ser executado por um mecanismo. Essa mesma ideia aparece no seu sonho de calcular raciocínios.
Exercício: decomponha 37 × 12 como faria a máquina
$37\times12=37\times2+37\times10=74+370=444$. Na máquina: duas voltas com 37, um deslocamento e mais uma volta.
Exercício: quantas voltas de manivela a máquina precisa para 58 × 203?
$203=3+0\cdot10+2\cdot100$. São 3 voltas nas unidades, nenhuma nas dezenas e 2 nas centenas: 5 voltas no total, além dos deslocamentos. Resultado: $58\times203=11\,774$.
Fontes: exposição sobre Leibniz da Leibniz Universität Hannover · biografia no MacTutor.
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