Material oficial: prova completa · soluções da OBMEP · acervo do ano.

As resoluções abaixo seguem a numeração do caderno oficial. Abra a prova para acompanhar os enunciados, as alternativas e os diagramas; as explicações aqui são autorais. Tente cada questão antes de consultar a resposta.

Gabarito

Questões Respostas
1–5 B · B · E · C · D
6–10 A · E · A · B · E
11–15 E · B · D · C · D
16–20 D · E · C · B · D

Questão 1 — Sobreposição

E foi colado por último. A está abaixo dele e acima de B; B encobre C e D. Portanto os dois primeiros são C e D, o terceiro é B, o quarto A e o quinto E. Alternativa B.

Questão 2 — Caminho e distância direta

Cada desvio na figura percorre três lados de um quadrado, enquanto sua projeção sobre AB mede somente um lado. Se esses lados medem $a,b,\ldots,g$, o percurso é $3(a+b+\cdots+g)=6$ km. A distância direta AB é a soma sem o fator 3: 2 km — B.

Questão 3 — Distribuição de bolas

Duas caixas consecutivas recebem $2+3=5$ bolas. As primeiras 404 duplas guardam 2020 bolas em 808 caixas. A caixa 809 recebe 2021 e 2022; a seguinte recebe 2023, 2024 e 2025. A bola 2023 está na caixa 810 — E.

Questão 4 — Diferença de produtos

Use $u=20235$ e o produto da soma pela diferença:

$$u^2-(u+3)(u-3)=u^2-(u^2-9)=\boxed9.$$

Alternativa C. A identidade evita duas multiplicações extensas.

Questão 5 — Distância da viagem

Em quatro horas a 60 km/h, percorrem-se 240 km. Se os dois trechos completos medem $x$ e $D-x$, a parte percorrida entre os horários indicados é $3x/4+3(D-x)/4=3D/4$. Logo $3D/4=240$, e $D=320$ km — D.

Questão 6 — Equação e inverso

Como $x^2-3x+1=0$, temos $x\ne0$. Dividindo a equação por $x$, obtemos $x+1/x=3$. Eleve ao quadrado:

$$x^2+2+\frac1{x^2}=9\quad\Rightarrow\quad x^2+\frac1{x^2}=\boxed7.$$

Alternativa A. O resultado vale para ambas as raízes.

Questão 7 — Área de um quadradinho

A região amarela se divide em triângulos de áreas $3l^2$ e $2l^2$, calculadas pelas bases e alturas na malha. Como a soma é 30, $5l^2=30$. A área de cada quadradinho é $6\text{ cm}^2$ — E.

Questão 8 — Produto com radicais

Agrupe os oito fatores por pares que diferem apenas no sinal de 1. Colocando $s=\sqrt2+\sqrt3$ e $t=\sqrt2-\sqrt3$, o produto completo é $(s^2-1)^2(t^2-1)^2$. Como $s^2-1=4+2\sqrt6$ e $t^2-1=4-2\sqrt6$,

$$[(4+2\sqrt6)(4-2\sqrt6)]^2=(16-24)^2=\boxed{64}.$$

Alternativa A.

Questão 9 — Identificação das idades

Só a criança de 8 anos mente, e a única frase que seria falsa para ela é a negação da idade 8. As outras frases são verdadeiras: a criança que nega 9 tem 7; a que nega 7 tem 9. A identificação pedida está em B.

Questão 10 — Caminhos

Os dois pontos extremos destacados admitem um caminho cada. Cada um dos dois pontos internos admite seis trajetos de chegada e seis de saída. Os quatro casos não se sobrepõem, porque o deslocamento só permite subir ou avançar à direita. Total: $1+36+36+1=74$ — E.

Questão 11 — Vantagens em corridas

As comparações dão $v_B/v_A=80/100$ e $v_C/v_B=380/400$. Multiplicando,

$$\frac{v_C}{v_A}=\frac45\cdot\frac{19}{20}=\frac{19}{25}.$$

Enquanto André percorre 800 m, Carlos percorre $800\cdot19/25=608$ m. A vantagem necessária é $800-608=192$ m — E. Somar as duas vantagens originais ignoraria as diferentes distâncias das corridas.

Questão 12 — Círculos tangentes

Chame os raios externo e interno de $R$ e $r$. O centro do círculo pequeno está na bissetriz do ângulo de 60°. O triângulo formado com o ponto de tangência tem ângulo de 30°, logo a distância desse centro ao vértice é $2r$. Pela tangência interna e alinhamento dos centros, essa mesma distância é $2R-r$. Então $2R-r=2r$, ou $R=3r/2$.

A razão entre a área azul e a rosa é

$$\frac{\pi r^2}{\pi R^2-\pi r^2}=\frac{1}{9/4-1}=\boxed{\frac45}.$$

Alternativa B.

Questão 13 — Quadrados e Pitágoras

Se os quadrados brancos têm lado $L$ e o deslocamento indicado mede $x$, os lados azuis são $L+x$ e $L-x$. A soma das áreas azuis é $2L^2+2x^2$. O triângulo retângulo destacado tem hipotenusa 2, logo $L^2+x^2=4$. Portanto a soma é 8 — D.

Questão 14 — Pares com soma proibida

Os 66 números de 10 a 76 diferentes de 43 formam 33 pares cuja soma é 86. Só podemos usar um por par. O número 43 e os 23 números de 77 a 99 não criam outro par proibido. O máximo é $33+1+23=57$, atingido escolhendo de 43 a 99. Alternativa C.

Questão 15 — Reorganização de áreas

Os segmentos de 10 cm e os ângulos de 60° permitem formar paralelogramos nos encontros das peças. Suas diagonais se cortam ao meio; assim, cada triângulo que sai do quadrilátero central tem um triângulo congruente que preenche uma reentrância. Transfira esses pares sem mudar a área. O contorno resultante é um quadrado de lado 20 cm: os ângulos internos são retos pela soma dos ângulos de 30° e 60° indicados na construção. A área é $20^2=400\text{ cm}^2$ — D.

Questão 16 — Soma que vira produto

A soma de 1 a 17 é $17\cdot18/2=153$. Retirando $a$ e $b$, a condição é $153-a-b=ab$. Some 1 e fatore:

$$154=ab+a+b+1=(a+1)(b+1).$$

Ambos os fatores estão entre 2 e 18. Entre os pares de divisores de $154=2\cdot7\cdot11$, só $11\cdot14$ atende. Assim $\{a,b\}=\{10,13\}$ e o produto pedido é 130 — D.

Questão 17 — Números nas faces

Se o produto em faces opostas é constante, os números opostos a 1, 3 e 6 são $6t,2t,t$, para algum inteiro positivo $t$. O produto 98 numa vista não pode usar as faces 3 e 6, pois 98 não é múltiplo de 3. Também não pode usar $6t$. Portanto usa $1,2t,t$, e $2t^2=98$ dá $t=7$. Os seis números são $1,3,6,42,14,7$; o maior é 42 — E.

Questão 18 — Blocos de pessoas

Condicionadas a ficarem juntas, as cinco meninas podem ocupar um bloco começando em qualquer posição de 1 a 6. Em cada posição existem $5!\cdot5!$ maneiras de ordenar meninas e meninos, portanto os seis casos têm o mesmo peso. Os meninos só ficam juntos se o bloco das meninas estiver numa das extremidades. A probabilidade é $2/6=1/3$ — C.

Questão 19 — Dobras da tira

Denote o comprimento por $a$ e a largura por $b$. Na sobreposição quadrada, o lado mede $b$ e sua diagonal mede $b\sqrt2$. Pela simetria da dobra, a metade do comprimento é a soma dessa diagonal com o trecho de comprimento $2b$ obtido no triângulo retângulo isósceles adjacente. Portanto,

$$\frac a2=b\sqrt2+2b\quad\Rightarrow\quad\frac ab=\boxed{2(2+\sqrt2)}.$$

Alternativa B. Distinga o lado do quadrado sobreposto de sua diagonal: são eles que originam os fatores 1 e $\sqrt2$.

Questão 20 — Torneio com desistências

Se $N$ jogadores permanecem, jogam $N(N-1)/2$ partidas entre si. Seja $k$ o número de partidas entre os três desistentes, com $0\le k\le3$. As duas participações de cada desistente somam 6, mas uma partida entre dois deles foi contada duas vezes. Logo o total adicional é $6-k$ e

$$\frac{N(N-1)}2+6-k=50.$$

Precisamos de um número triangular entre 44 e 47; o único é 45, com $N=10$ e $k=1$. Somando os três desistentes, havia 13 jogadores — D.

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