Portas abertas e fechadas na reta

Inclua e exclua as extremidades. Como mudam os símbolos do intervalo e da desigualdade?

Explore os controles e explique o que mudou com suas próprias palavras.

Os intervalos vão ser representados como um subconjunto dos números reais ou mais conhecida como a reta. Estes subconjuntos são infinitos, pois por mais que pegue intervalos menores, ainda serão infinitas. Diferentemente do conjunto dos números naturais ou números inteiros.

Exemplo 1.

Limitantes

Definição (Intervalo): um intervalo é um subconjunto da reta (números reais).

Definição (Intervalo limitado inferiormente): um intervalo é limitado inferiormente, se temos um número real $x$ qualquer, tal que ela é maior ou igual que um outro número real $a$.

$$\forall x \in \mathbb{R}, ~x\geq a$$
Exemplo 1.

Definição (Intervalo limitado superiormente): um intervalo é limitado superiormente, se temos um número real $x$ qualquer, tal que ela é menor ou igual que um outro número real $b$.

$$\forall x \in \mathbb{R}, ~x\leq b$$
Exemplo 1.

Definição (Intervalo limitado): um intervalo é limitado, se ela é limitada inferiormente e limitada superiormente.

$$\forall x \in \mathbb{R}, ~a \leq x\leq b$$
Exemplo 1.

Definição (Intervalo ilimitado): um intervalo é ilimitado, se ela não é limitada inferiormente e nem limitada superiormente.

$$\forall x \in \mathbb{R}$$
Exemplo 1.

Intervalos abertos limitados

Aqui vamos abordar sobre os intervalos de números reais. Elas são fundamentais para inequações, dentre outros assuntos. A seguir apresentamos a definição de intervalo aberto.

Definição: Sejam $a,b$ números reais , isto é, $a,b\in \mathbb{R}$. Dizemos que um intervalo é aberto quando temos $(a,b) \subset \mathbb{R}$.

Quando o intervalo é aberto significa que os números $a,b$ não pertencem ao intervalo.

$$(a,b) = \\{x\in \mathbb{R}, a < x < b\\}$$

Notação: $(~)$ parenteses.

Exemplo 1.

Exemplo para intervalos abertos

Para $a=1,$ $b=5,$ determine o intervalo aberto. Então o intervalo é dado por:

$$(1,5)\in \mathbb{R}$$

Exemplos de alguns números pertencentes a estes intervalos.

  • $1\notin (1,5)$:
    • $1$ não pertence ao intervalo $(1,5)$
  • $5\notin (1,5)$:
    • $5$ não pertence ao intervalo $(1,5)$
  • $2\in (1,5)$:
    • $2$ pertence ao intervalo $(1,5)$
  • $\dfrac{3}{2}\in (1,5)$:
    • $\dfrac{3}{2}$ pertence ao intervalo $(1,5)$
  • $\pi\in (1,5)$:
    • $\pi$ pertence ao intervalo $(1,5)$
  • $e \in (1,5)$:
    • $e$ pertence ao intervalo $(1,5)$

Intervalos fechados limitados

A seguir apresentamos a definição de intervalo fechado.

Definição: Sejam $a,b$ números reais , isto é, $a,b\in \mathbb{R}$. Dizemos que um intervalo é fechado quando temos $[a,b] \subset \mathbb{R}$.

Quando o intervalo é fechado significa que os números $a,b$ não pertencem ao intervalo.

$$[a,b] = \\{x\in \mathbb{R}, a \leq x \leq b\\}$$

Notação: $[~]$ colchetes.

Exemplo 1.

Exemplo para intervalos fechados

Para $a=1,$ $b=5,$ determine o intervalo fechado. Então o intervalo é dado por:

$$[1,5]\in \mathbb{R}$$

Exemplos de alguns números pertencentes a estes intervalos.

  • $1\in [1,5]$:
    • $1$ não pertence ao intervalo $[1,5]$
  • $5\in [1,5]$:
    • $5$ não pertence ao intervalo $[1,5]$
  • $2\in [1,5]$:
    • $2$ pertence ao intervalo $[1,5]$
  • $\pi\in [1,5]$:
    • $\pi$ pertence ao intervalo $[1,5]$
  • $e \in [1,5]$:
    • $e$ pertence ao intervalo $[1,5]$

Intervalos semi abertos limitados

A seguir apresentamos a definição de intervalo semi aberto.

Definição: Sejam $a,b$ números reais , isto é, $a,b\in \mathbb{R}$. Dizemos que um intervalo é semi aberto quando temos $[a,b] \subset \mathbb{R}$.

Quando o intervalo é semi aberto significa que os números $a,b$ não pertencem ao intervalo.

$$(a,b] = \\{x\in \mathbb{R}, a < x \leq b\\}$$

$$[a,b) = \\{x\in \mathbb{R}, a \leq x < b\\}$$

Notação: $[~)$ ou $(~]$ parenteses e colchetes.

Exemplo 1.

Exemplo para intervalos semi abertos

Para $a=1,$ $b=5,$ determine o intervalo semi abertos. Então o intervalo é dado por:

$$(1,5]\in \mathbb{R}$$

Exemplos de alguns números pertencentes a estes intervalos.

  • $1\notin (1,5]$:
    • $1$ não pertence ao intervalo $(1,5]$
  • $5\in (1,5]$:
    • $5$ não pertence ao intervalo $(1,5]$
  • $2\in (1,5]$:
    • $2$ pertence ao intervalo $(1,5]$
  • $\pi\in (1,5]$:
    • $\pi$ pertence ao intervalo $(1,5]$
  • $e \in (1,5]$:
    • $e$ pertence ao intervalo $(1,5]$