Conferir a descoberta

Cada coluna soma 16. As cinco colunas totalizam 80, mas contamos a sequência duas vezes; sua soma é 40. Em geral, 2Sₙ = n(a₁ + aₙ), inclusive quando n é ímpar.

No post anterior, falamos um pouco da história e de ideias sobre a progressão aritmética. Neste post, vamos aprofundar mais o conceito.

Progressão aritmética

Quadrados de 1 a 5 com diferenças variáveis 3, 5, 7 e 9.
Compare com uma PA: reconhecer um padrão não garante razão constante.

Definição:

Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:

$$ \begin{cases} a_1 = a \\ a_{n} = a_{n-1} + r, \text{ para todo } n \in\mathbb{N}, n\geq 2 \end{cases} $$

onde $a$ e $r$ são números reais dados.

Assim, uma P.A. é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante $r$ dada.

Eis alguns exemplos de progressões aritméticas:

$$f_1 = (1, 3, 5, 7, 9, \dots) \text{ onde } a_1= 1 \text{ e } r = 2$$

$$f_2 = (0, -2, -4, -6, -8, \dots) \text{ onde } a_1 = 0 \text{ e } r = -2$$

$$f_3 = (4, 4, 4, 4, 4, \dots) \text{ onde } a_1= 4 \text{ e } r = 0$$

$$f_4 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{9}{2}, \dots) \text{ onde } a_1 = \frac{1}{2} \text{ e } r = 1$$

$$f_5 = (4, \frac{11}{3}, \frac{10}{3}, 3, \frac{8}{3}, \dots) \text{ onde } a_1 = 4 \text{ e } r = -\frac{1}{3}$$

Classificação

Três progressões com razões 3, 0 e menos 2.
Classifique usando a razão; justifique o caso constante.

As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:

  1. Crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. É imediato que isto ocorre somente se $r > 0$, pois:
$$a_n > a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} > 0 \Leftrightarrow r > 0$$

Exemplos: $f_1$ e $f_4$.

  1. Constantes são as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver que isto só ocorre quando $r = 0$, pois:
$$a_n = a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} = 0 \Leftrightarrow r = 0$$

Exemplo: $f_3$.

  1. Decrescentes são as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre somente se $r < 0$, pois:
$$a_n < a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} < 0 \Leftrightarrow r < 0$$

Exemplos: $f_2$ e $f_5$.

Notações especiais

Quando procuramos obter uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, é muito prática a notação seguinte:

  1. para 3 termos: $(x, x + r, x + 2r)$ ou $(x - r, x, x + r)$
  2. para 4 termos: $(x, x + r, x + 2r, x + 3r)$ ou $(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)$, onde $y = \frac{r}{2}$
  3. para 5 termos: $(x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r)$ ou $(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)$

Exercício: Determinar $x$ de modo que $(x, 2x + 1, 5x + 7)$ seja uma P.A.

Solução

Devemos ter $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$. Então:

$$(2x + 1) - x = (5x + 7) - (2x + 1) \quad\Rightarrow\quad x + 1 = 3x + 6 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{2}$$

Exercício: Determinar $a$ de modo que $(a^2, (a + 1)^2, (a + 5)^2)$ seja uma P.A.

Solução

Devemos ter $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$, ou seja, $2a_2 = a_1 + a_3$. Então:

$$2(a + 1)^2 = a^2 + (a + 5)^2 \quad\Rightarrow\quad 2a^2 + 4a + 2 = 2a^2 + 10a + 25 \quad\Rightarrow\quad -6a = 23 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{23}{6}$$

Exercício: Obter uma P.A. de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.

Solução

Empregando a notação especial $(x - r, x, x + r)$ para a P.A., temos:

\begin{cases} (x-r) + x + (x+r)=24 \quad (*)\\ (x-r) ~.~ x ~.~ (x+r)=440 \quad (**) \end{cases}

De (*) obtemos $3x = 24$, isto é, $x = 8$. Substituindo em (**), vem:

$$(8 - r) ~.~ 8 ~.~ (8 + r) = 440 \quad\Leftrightarrow \quad 64 - r^2 = 55 \quad\Leftrightarrow\quad r^2 = 9 \quad\Leftrightarrow\quad r = \pm 3$$

Assim, a P.A. procurada é:

$(5, 8, 11)$ para $x = 8$ e $r = 3$, ou $(11, 8, 5)$ para $x = 8$ e $r = -3$.

Fórmula do termo geral

Pontos do gráfico da sequência 2, 5, 8, 11 e 14.
As posições são naturais positivos. Por isso o gráfico da sequência tem pontos separados.

Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo ($a_1$), a razão ($r$) e o índice ($n$) de um termo desejado, temos:

\begin{eqnarray*} a_2 &=& a_1 + r \\ a_3 &=& a_2 + r \\ a_4 &=& a_3 + r \\ &\vdots& \\ a_n &=& a_{n-1} + r \end{eqnarray*}

Somando essas $n-1$ igualdades, temos:

\begin{eqnarray*} \underbrace{ \color{red}{a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{n-1} } }_{\text{cancela} } + a_n = a_1 + \underbrace{ \color{red}{a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{n-1} } }_{\text{cancela} } + (n-1) ~.~ r \end{eqnarray*}

e, então, $a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r$, o que sugere o seguinte

Teorema

Na P.A. em que o primeiro termo é $a_1$ e a razão é $r$, o n-ésimo termo é

$$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r$$

Demonstração pelo princípio da indução finita

I) Para $n = 1$, temos: $a_1 = a_1 + (1-1) ~.~ r$ (sentença verdadeira).

II) Admitamos a validade da fórmula para $n = p$:

$$a_p = a_1 + (p-1) ~.~ r \quad \text{(hipótese de indução)}$$

e provemos que vale para $n = p + 1$:

$$a_{p+1} = a_p + r = (a_1 + (p-1) ~.~ r) + r = a_1 + [(p + 1) - 1] ~.~ r$$

Então, $a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Exercícios

  1. Calcular o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.

Solução

Notando que $a_1 = 3$ e $r = 5$, apliquemos a fórmula do termo geral:

$$a_{17} = a_1 + 16r = 3 + 16 ~.~ 5 = 83$$
  1. Obter a razão da P.A. em que o primeiro termo é $-8$ e o vigésimo é $30$.

Solução

$$a_{20} = a_1 + 19r \quad\Rightarrow\quad 30 = -8 + 19r \quad\Rightarrow\quad r = 2$$
  1. Obter a P.A. em que $a_{10} = 7$ e $a_{12} = -8$.

Solução

Para escrever a P.A. é necessário determinar $a_1$ e $r$. Temos:

\begin{cases} a_{10} = 7 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 9r = 7 \quad (*)\\ a_{12} = -8 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 11r = -8 \quad (**) \end{cases}

Resolvendo o sistema acima, temos:

  1. $(**) - (*)$: $\ 2r = -15 \quad\Rightarrow\quad r = -\frac{15}{2}$
  2. em $(*)$: $\ a_1 + 9 ~.~ \left(-\frac{15}{2}\right) = 7 \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{149}{2}$

e, portanto, a P.A. é $\left(\frac{149}{2}, \frac{134}{2}, \frac{119}{2}, \dots\right)$.

Escolha o primeiro termo, a razão e quantos termos quer. Ligue o truque de Gauss para ver a soma.

Interpolação Aritmética

Cinco termos de 5 a 17, com três meios e quatro intervalos.
Inserir 3 meios cria 4 intervalos. Use essa contagem para calcular a razão.

Em toda sequência finita $(a_1, a_2, \dots, a_{n-1}, a_n)$, os termos $a_1$ e $a_n$ são chamados extremos e os demais são chamados meios. Assim, na P.A. $(0, 3, 6, 9, > 12, 15)$ os extremos são $0$ e $15$, enquanto os meios são $3, 6, 9$ e $12$.

Interpolar, inserir ou intercalar $k$ meios aritméticos entre os números $a$ e $b$ significa obter uma P.A. de extremos $a_1 = a$ e $a_n = b$, com $n = k + 2$ termos. Para determinar os meios dessa P.A. é necessário calcular a razão, o que é feito assim:

$$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r \quad\Rightarrow\quad b = a + (k+1) ~.~ r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{b-a}{k+1}$$

Exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2.

Vamos formar uma P.A. com 7 termos onde $a_1 = 1$ e $a_7 = 2$. Temos:

$$a_7 = a_1 + 6 ~.~ r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{a_7 - a_1}{6} = \frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}$$

então a P.A. é

$$\left(1, \frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}, \frac{11}{6}, 2\right)$$

Soma

Pares extremos de uma PA de cinco termos com soma 16.
Justifique 2Sₙ = n(a₁ + aₙ) escrevendo a sequência em duas ordens.

Vamos deduzir uma fórmula para calcular a soma $S_n$ dos $n$ termos iniciais de uma P.A.

Teorema 1

A soma dos $n$ primeiros números inteiros positivos é $\frac{n(n+1)}{2}$.

Demonstração por indução finita

I) Para $n = 1$, temos: $1 = \frac{1(1 + 1)}{2}$ (sentença verdadeira).

II) Admitamos a validade da fórmula para $n = p$:

$$1 + 2 + 3 + \dots + p = \frac{p(p + 1)}{2}$$

e provemos que vale para $n = p + 1$:

$$1 + 2 + 3 + \dots + p + (p+1) = \frac{p(p + 1)}{2} + (p + 1) = \frac{p(p + 1) + 2(p + 1)}{2} = \frac{(p + 1)(p + 2)}{2}$$

Então $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Exemplo: A soma dos 50 termos iniciais da sequência dos inteiros positivos é:

$$1 + 2 + 3 + \dots + 50 = \frac{50(50 + 1)}{2} = 25 \times 51 = 1275$$

Utilizando a fórmula do termo geral, podemos calcular a soma $S_n$ dos $n$ termos iniciais da P.A. $(a_1, a_2, \dots, a_n, \dots)$.

Teorema 2

Em toda P.A. tem-se: $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} ~.~ r$

Demonstração

\begin{cases} a_1 = a_1 \\ a_2 = a_1 + r \\ a_3 = a_1 + 2r \\ \dots \\ a_n = a_1 + (n-1)r \end{cases}

Somando essas igualdades:

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \underbrace{(a_1 + a_1 + \dots + a_1)}_{n \text{ parcelas}} + (r + 2r + \dots + (n-1)r) = na_1 + [1 + 2 + \dots + (n-1)] ~.~ r$$

Pelo Teorema 1, $1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$; então,

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = na_1 + \frac{(n-1) n}{2} ~.~ r$$

isto é:

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} ~.~ r$$

Teorema 3

Em toda P.A. tem-se: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Demonstração

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} r = \frac{2na_1 + n(n-1)r}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2} = \frac{n[a_1 + a_1 + (n-1)r]}{2} = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Exemplos

  1. A soma dos 15 termos iniciais da P.A. $(-2, 1, 4, 7, \dots)$ é:
$$S_{15} = 15 ~.~ (-2) + \frac{15 ~.~ 14}{2} ~.~ 3 = -30 + 315 = 285$$
  1. A soma dos múltiplos inteiros de 2 desde 4 até 100 pode ser calculada notando-se que $(4, 6, 8, \dots, 100)$ é uma P.A. de 49 termos em que $a_1 = 4$ e $a_{49} = 100$:
$$S_{49} = \frac{49(4 + 100)}{2} = 49 \times 52 = 2548$$

Laboratório: reconheça, calcule e confira

No treino abaixo, aparecem três missões: descobrir a razão, calcular um termo e somar termos. Anote sua estratégia antes de verificar. A dificuldade muda o número de termos considerado. As questões desta atividade usam termos e razões naturais, incluindo zero.

Uma rodada tem 10 desafios de PA. Use aₙ = a₁ + (n − 1)r e Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 quando necessário.

Desafio: quando os termos deixam de ser naturais?

Uma PA começa em 9 e tem razão −2. Escreva os seis primeiros termos. Até qual posição todos os termos ainda são naturais?

Conferir a investigação

Os termos são 9, 7, 5, 3, 1 e −1. Os cinco primeiros são naturais; o sexto já é negativo. A posição continua sendo um natural positivo, mesmo quando o valor do termo não é natural.