Os números naturais em fila formam sequências. A mais simples delas, a progressão aritmética, aparece em muitos problemas. Mexa na figura para ver uma PA crescer:

Escolha o primeiro termo e a razão. As barras são os termos; a soma sai pelo truque de Gauss.

Um mapa visual das progressões

PA 2, 5, 8, 11, 14 de razão 3.
Observe, preveja e justifique: que regra liga os termos?
Auditório com fileiras crescentes de razão 2.
Uma sequência ajuda a calcular quantidades do cotidiano.

Sua missão: transformar padrões em argumentos

Roteiro de descobertas

  1. Observe uma sequência e identifique como cada termo é obtido.
  2. Reconheça uma PA pela diferença constante entre termos consecutivos.
  3. Relacione a posição de um termo ao seu valor usando o termo geral.
  4. Justifique a soma com pares de termos e aplique a ideia em uma situação concreta.

Comece pela introdução às progressões e avance para a progressão aritmética.

Conexão com os naturais: as posições dos termos são 1, 2, 3, … . Os valores de uma PA também podem ser negativos ou fracionários; nem toda PA tem somente termos naturais. No explorador, observe o que acontece quando você muda a razão.

Desafio das fileiras

Um auditório tem 12 fileiras. A primeira tem 8 cadeiras e cada fileira seguinte tem 2 cadeiras a mais. Quantas cadeiras há na última fileira? Qual é a capacidade total?

Conferir a resposta e a estratégia

A última fileira tem 8 + (12 − 1) × 2 = 30 cadeiras. A soma é 12 × (8 + 30) ÷ 2 = 228 cadeiras. Ao juntar a primeira com a última fileira, cada par tem 38 cadeiras; são 6 pares.

Explique antes de usar a fórmula

Por que usamos n − 1 no termo geral aₙ = a₁ + (n − 1)r?

Ver uma justificativa

O primeiro termo já está na posição 1. Para chegar à posição n, fazemos n − 1 passos, cada um acrescentando a razão r.

Pronto para concluir? Crie uma PA de termos naturais, calcule seu décimo termo e justifique a soma dos dez primeiros termos. Depois, investigue o que muda com razão zero ou negativa.

Laboratório: reconheça, calcule e confira

No treino abaixo, aparecem três missões: descobrir a razão, calcular um termo e somar termos. Anote sua estratégia antes de verificar. A dificuldade muda o número de termos considerado. As questões desta atividade usam termos e razões naturais, incluindo zero.

Uma rodada tem 10 desafios de PA. Use aₙ = a₁ + (n − 1)r e Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 quando necessário.

Desafio: quando os termos deixam de ser naturais?

Uma PA começa em 9 e tem razão −2. Escreva os seis primeiros termos. Até qual posição todos os termos ainda são naturais?

Conferir a investigação

Os termos são 9, 7, 5, 3, 1 e −1. Os cinco primeiros são naturais; o sexto já é negativo. A posição continua sendo um natural positivo, mesmo quando o valor do termo não é natural.