Saltar de pés juntos sobre os cálculos; agrupar as operações, classificá-las segundo as suas dificuldades e não segundo as suas formas: essa é, a meu ver, a missão dos geômetras futuros.

— Évariste Galois, prefácio a um manuscrito (1831)

Sessenta anos antes de Galois, Lagrange tinha olhado para expressões feitas com as raízes de uma equação e contado quantos valores elas tomam quando as raízes trocam de lugar. Galois deu um passo a mais. Em vez de olhar para as expressões, olhou para as trocas. E não para todas: só para as que a equação permite.

As trocas permitidas

Tome uma equação com coeficientes racionais e chame as suas raízes de $a, b, c,\dots$ Entre as raízes valem certas relações: igualdades com coeficientes racionais que são verdadeiras, como $a+b=0$ ou $a^2=2$. Galois definiu o grupo da equação como o conjunto das permutações das raízes que transformam toda relação verdadeira em outra relação verdadeira.

O exemplo mais simples é $x^2-2=0$, com as raízes $a=\sqrt2$ e $b=-\sqrt2$. Valem, por exemplo,

$$a+b=0,\qquad ab=-2,\qquad a^2=2,\qquad b^2=2.$$

Trocando $a$ com $b$, as quatro continuam verdadeiras. O grupo tem dois elementos: não trocar nada e trocar as duas raízes.

Compare com $x^2-3x+2=0$, de raízes $a=1$ e $b=2$. Aqui vale a relação $a=1$. Trocando as raízes, ela vira $b=1$, que é falsa. Então a troca não é permitida, e o grupo só tem a identidade. Isso não é acaso:

Uma expressão racional das raízes é um número racional exatamente quando não muda por nenhuma permutação do grupo.

É o princípio central da teoria. Em particular, as raízes são todas racionais exatamente quando o grupo é só a identidade. Quanto maior o grupo, mais “escondidas” estão as raízes.

Quatro raízes, quatro trocas

A equação $x^4-5x^2+6=0$ se fatora como $(x^2-2)(x^2-3)=0$. As raízes são

$$a=\sqrt2,\qquad b=-\sqrt2,\qquad c=\sqrt3,\qquad d=-\sqrt3.$$

Há $4!=24$ maneiras de embaralhar quatro raízes, mas a maioria quebra alguma relação. Trocar $a$ com $c$, por exemplo, transforma a relação verdadeira $a^2=2$ em $c^2=2$, que é falsa. Sobram só as trocas que levam $\sqrt2$ em $\pm\sqrt2$ e $\sqrt3$ em $\pm\sqrt3$:

Permutação $a$ vai para $c$ vai para
identidade $a$ $c$
troca $a\leftrightarrow b$ $b$ $c$
troca $c\leftrightarrow d$ $a$ $d$
as duas trocas $b$ $d$

O grupo tem quatro elementos, de 24 possíveis. A equação, que parecia ser de grau 4, na verdade se resolve com duas raízes quadradas independentes, e o grupo mostra isso.

Três raízes, seis trocas

A equação $x^3-2=0$ tem uma raiz real, $\alpha=\sqrt[3]2$, e duas complexas. Com $\omega=\frac{-1+i\sqrt3}2$, que satisfaz $\omega^3=1$, as raízes são

$$\alpha,\qquad\alpha\omega,\qquad\alpha\omega^2.$$

Neste caso, todas as $3!=6$ permutações são permitidas, e o grupo é o maior possível para três raízes. Ele é o mesmo grupo das simetrias de um triângulo equilátero, e não é por acaso: as três raízes, desenhadas no plano complexo, formam um triângulo equilátero com centro na origem.

Exercício: qual é o grupo de x² − 4x + 1 = 0?

As raízes são $a=2+\sqrt3$ e $b=2-\sqrt3$. As relações $a+b=4$ e $ab=1$ não mudam com a troca de $a$ e $b$. Qualquer relação verdadeira entre $a$ e $b$ continua verdadeira quando se troca $\sqrt3$ por $-\sqrt3$, então a troca é permitida. O grupo tem dois elementos. Como $a$ não é racional, o grupo não pode ser só a identidade, o que confirma a conta.

Exercício: na equação x⁴ − 5x² + 6 = 0, a expressão a + c é um número racional? E a + b?

$a+c=\sqrt2+\sqrt3$. A troca $c\leftrightarrow d$, que está no grupo, a transforma em $a+d=\sqrt2-\sqrt3$, um valor diferente. Logo $a+c$ não é racional. Já $a+b=0$ não muda por nenhuma das quatro permutações: é racional, como deve ser.

Fontes: Évariste Galois, “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux” (1831), publicada por Liouville no Journal de mathématiques pures et appliquées 11 (1846) · Peter M. Neumann, The Mathematical Writings of Évariste Galois (2011) · Ian Stewart, Galois Theory (CRC Press, 4ª ed., 2015).

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