Euler's Eyes
2026-10-11
Congruência de triângulos
Quando dois triângulos são “cópias” um do outro? Não é preciso conferir os seis elementos: três bem escolhidos bastam.
Quem descobriu
O critério mais antigo com nome de autor é o ALA (um lado e os dois ângulos adjacentes). Proclo, citando Eudemo de Rodes, conta que Tales de Mileto (século VI a.C.) o usou para calcular a distância de navios no mar. A demonstração dos casos LAL (proposição I.4), LLL (I.8) e ALA (I.26) está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). Em 1899, David Hilbert mostrou que o caso LAL precisa ser aceito como axioma.
A história
Para provar o caso LAL, Euclides “move” um triângulo e o coloca sobre o outro — o chamado método da superposição. Desde a Antiguidade, comentadores notaram que nenhum postulado autoriza esse movimento. Muitos aceitaram a prova; outros, como o matemático renascentista Jacques Peletier (1557), a criticaram.
Hilbert encerrou a discussão: em sua axiomática, uma versão do caso LAL é um dos axiomas de congruência, e a partir dele os casos ALA e LLL são demonstrados. É por isso que neste livro o LAL é um postulado e os outros casos são teoremas.
No dia a dia
- Triângulo não deforma. Pelo caso LLL, fixados os três lados, o triângulo fica determinado. Por isso uma prateleira com mão-francesa (uma barra diagonal) não cede, e um portão sem diagonal entorta.
- Medir o que não se alcança. Como Tales com os navios: medindo um lado e dois ângulos em terra, constrói-se um triângulo congruente onde dá para medir.
- Produção em série. Peças cortadas com o mesmo gabarito são congruentes e podem ser trocadas entre si.
- Simetria. As duas metades de uma tesoura de telhado (a estrutura triangular) são triângulos congruentes, o que equilibra o peso.
Fontes: Tales (MacTutor) · Elementos, proposição I.4 · Elementos, proposição I.26 · Hilbert (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoTriângulos congruentes
Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os lados sejam ordenadamente congruentes e os ângulos sejam ordenadamente congruentes:
$$\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}},\ \overline{AC} \equiv \overline{A^{\prime}C^{\prime}},\ \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}} \\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \end{cases}$$A congruência de triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
A definição exige seis congruências. Mas há condições mínimas, com só três elementos, que já garantem as outras: são os casos (ou critérios) de congruência. Escolha um caso na figura e veja por que três dados bastam — e por que “LLA” não basta.
Postulado1º caso — LAL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.
$$\overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}},\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \overline{AC} \equiv \overline{A^{\prime}C^{\prime}} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$O caso LAL é um postulado. Os outros casos são provados a partir dele.
TeoremaTeorema do triângulo isósceles
Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes. Ou seja: todo triângulo isósceles é isoângulo (tem os ângulos da base congruentes).
$$\overline{AB} \equiv \overline{AC} \ \Longrightarrow\ \hat{B} \equiv \hat{C}$$Demonstração
- A ideia é comparar o triângulo com ele mesmo “virado”: associamos $A$, $B$, $C$ a $A$, $C$, $B$.
- $\overline{AB} \equiv \overline{AC}$ (hipótese), $B\hat{A}C \equiv C\hat{A}B$ (é o mesmo ângulo) e $\overline{AC} \equiv \overline{AB}$ (hipótese).
- Pelo caso LAL, $\triangle ABC \equiv \triangle ACB$.
- Dessa congruência, o ângulo em $B$ do primeiro corresponde ao ângulo em $C$ do segundo: $\hat{B} \equiv \hat{C}$.
Teorema2º caso — ALA
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então eles são congruentes.
$$\hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$Demonstração (recaindo no LAL)
- Basta provar que $\overline{BA} \equiv \overline{B^{\prime}A^{\prime}}$, pois então vale LAL.
- Pelo transporte de segmentos, tomamos $X$ na semirreta $\overrightarrow{B^{\prime}A^{\prime}}$ com $\overline{B^{\prime}X} \equiv \overline{BA}$.
- Por LAL ($\overline{BA} \equiv \overline{B^{\prime}X}$, $\hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime}$, $\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$), $\triangle ABC \equiv \triangle XB^{\prime}C^{\prime}$, logo $B\hat{C}A \equiv B^{\prime}\hat{C^{\prime}}X$.
- Mas, por hipótese, $B\hat{C}A \equiv B^{\prime}\hat{C^{\prime}}A^{\prime}$. Pelo transporte de ângulos, as semirretas $\overrightarrow{C^{\prime}X}$ e $\overrightarrow{C^{\prime}A^{\prime}}$ coincidem, e ambas cortam $\overrightarrow{B^{\prime}A^{\prime}}$ num único ponto: $X = A^{\prime}$.
- Então $\overline{B^{\prime}A^{\prime}} \equiv \overline{BA}$ e, por LAL, $\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
Com o caso ALA prova-se a recíproca do teorema do triângulo isósceles: se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles. (Compare $\triangle ABC$ com $\triangle ACB$, como antes.)
Teorema3º caso — LLL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então eles são congruentes.
Ver a demonstração do caso LLL
Transportamos o ângulo $C\hat{A}B$ e o segmento $\overline{AC}$ para obter um ponto $X$ com $X\hat{A^{\prime}}B^{\prime} \equiv C\hat{A}B$ e $\overline{A^{\prime}X} \equiv \overline{AC}$, estando $X$ no semiplano oposto ao de $C^{\prime}$ em relação à reta $A^{\prime}B^{\prime}$. Por LAL, $\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}X$, e daí $\overline{XB^{\prime}} \equiv \overline{CB} \equiv \overline{C^{\prime}B^{\prime}}$.
Assim, os triângulos $A^{\prime}C^{\prime}X$ e $B^{\prime}C^{\prime}X$ são isósceles de base $\overline{C^{\prime}X}$, e seus ângulos da base são congruentes. Somando ou subtraindo esses ângulos (conforme a reta $C^{\prime}X$ corte $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ dentro ou fora), obtemos $A^{\prime}\hat{C^{\prime}}B^{\prime} \equiv A^{\prime}\hat{X}B^{\prime}$. Por LAL, $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}X \equiv \triangle ABC$.
Existência do ponto médio e da bissetriz
Com os casos de congruência, provamos duas existências prometidas nos capítulos anteriores.
TeoremaExistência do ponto médio
Dado $\overline{AB}$, construímos $C\hat{A}B \equiv D\hat{B}A$ e $\overline{AC} \equiv \overline{DB}$, com $C$ e $D$ em semiplanos opostos em relação à reta $AB$. O segmento $\overline{CD}$ corta $\overline{AB}$ num ponto $M$. Então:
$\triangle CAB \equiv \triangle DBA$ (LAL) $\Rightarrow$ $\triangle CAD \equiv \triangle DBC$ (LLL) $\Rightarrow$ $\triangle AMD \equiv \triangle BMC$ (ALA), e daí $\overline{AM} \equiv \overline{BM}$: $M$ é o ponto médio de $\overline{AB}$.
TeoremaExistência da bissetriz
Dado $a\hat{O}b$, tomamos $A, A^{\prime}$ em $\overrightarrow{Oa}$ e $B, B^{\prime}$ em $\overrightarrow{Ob}$ com $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$, $\overline{OA^{\prime}} \equiv \overline{OB^{\prime}}$ e $OA^{\prime} > OA$. Seja $C$ o encontro de $\overline{AB^{\prime}}$ com $\overline{A^{\prime}B}$. Então $\triangle AOB^{\prime} \equiv \triangle BOA^{\prime}$ (LAL), $\triangle ACA^{\prime} \equiv \triangle BCB^{\prime}$ (ALA) e $\triangle OAC \equiv \triangle OBC$ (LLL ou LAL). Logo $A\hat{O}C \equiv B\hat{O}C$: $\overrightarrow{OC}$ é a bissetriz.
Mediana e bissetriz interna
DefiniçãoMediana e bissetriz interna de um triângulo
- Mediana é o segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto. Se $M_a$ é o ponto médio de $\overline{BC}$, $\overline{AM_a}$ é a mediana relativa ao lado $\overline{BC}$ (ou ao vértice $A$).
- Bissetriz interna é o segmento, com extremidades num vértice e no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. Se $S_a \in \overline{BC}$ e $S_a\hat{A}B \equiv S_a\hat{A}C$, $\overline{AS_a}$ é a bissetriz relativa ao lado $\overline{BC}$.
Ângulo externo
TeoremaTeorema do ângulo externo
Dado o $\triangle ABC$, sendo $\overrightarrow{CX}$ a semirreta oposta a $\overrightarrow{CB}$, o ângulo $e = A\hat{C}X$ é o ângulo externo adjacente a $\hat{C}$ (e não adjacente a $\hat{A}$ e $\hat{B}$). Ele é o suplementar adjacente de $\hat{C}$, e:
Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes a ele: $e > \hat{A}$ e $e > \hat{B}$.
Demonstração
- Seja $M$ o ponto médio de $\overline{AC}$ e $P$ o ponto da semirreta $\overrightarrow{BM}$ com $\overline{BM} \equiv \overline{MP}$.
- $\overline{AM} \equiv \overline{MC}$, $A\hat{M}B \equiv C\hat{M}P$ (o.p.v.) e $\overline{BM} \equiv \overline{MP}$: por LAL, $\triangle BAM \equiv \triangle PCM$, logo $B\hat{A}M \equiv P\hat{C}M$ (1).
- Como $P$ é interno ao ângulo $e = A\hat{C}X$, temos $e > P\hat{C}M$ (2).
- De (1) e (2): $e > \hat{A}$.
- Tomando o ponto médio de $\overline{BC}$ e usando ângulos opostos pelo vértice, prova-se do mesmo modo que $e > \hat{B}$.
Teorema4º caso — LAAₒ
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então eles são congruentes.
$$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$Ver a demonstração do caso LAAₒ
Há três possibilidades: $AB = A^{\prime}B^{\prime}$, $AB < A^{\prime}B^{\prime}$ ou $AB > A^{\prime}B^{\prime}$. Na primeira, vale LAL e acabou.
Se $AB < A^{\prime}B^{\prime}$, tomamos $D$ na semirreta $\overrightarrow{BA}$ com $\overline{BD} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$. Por LAL, $\triangle DBC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, logo $\hat{D} \equiv \hat{A}^{\prime} \equiv \hat{A}$. Mas $\hat{A}$ é ângulo externo do $\triangle ADC$, não adjacente a $\hat{D}$; pelo teorema do ângulo externo, $\hat{A} > \hat{D}$ — absurdo. O caso $AB > A^{\prime}B^{\prime}$ é análogo, com $D$ entre $A$ e $B$. Sobra a primeira possibilidade.
TeoremaCaso especial — triângulos retângulos
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então eles são congruentes.
Ver a demonstração do caso especial
Sejam $\hat{A}$ e $\hat{A}^{\prime}$ retos, $\overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ e $\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$. Tomamos $D$ na semirreta oposta a $\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ com $\overline{A^{\prime}D} \equiv \overline{AC}$. Por LAL, $\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}D$, logo $\overline{B^{\prime}D} \equiv \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$ e $\hat{D} \equiv \hat{C}$. O $\triangle B^{\prime}C^{\prime}D$ é isósceles de base $\overline{C^{\prime}D}$, então $\hat{C}^{\prime} \equiv \hat{D} \equiv \hat{C}$. Com $\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$, $\hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime}$ e $\hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime}$, o caso LAAₒ conclui.
ResumoCasos de congruência
| Caso | Elementos congruentes | Status |
|---|---|---|
| LAL | dois lados e o ângulo entre eles | postulado |
| ALA | um lado e os dois ângulos adjacentes | teorema |
| LLL | os três lados | teorema |
| LAAₒ | um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto | teorema |
| especial | cateto e hipotenusa (triângulos retângulos) | teorema |
| LLA, AAA | — | não garantem congruência |