Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5.

Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

Proponho-me, nesta memória, examinar os diferentes métodos encontrados até agora para a resolução algébrica das equações, reduzi-los a princípios gerais e mostrar a priori por que esses métodos têm êxito no terceiro e no quarto graus e falham nos graus seguintes.

— Joseph-Louis Lagrange, Reflexões sobre a resolução algébrica das equações (1771)

A memória tem mais de 200 páginas, publicadas pela Academia de Berlim em 1770 e 1771.

Embaralhar as raízes

A ideia central é olhar para expressões feitas com as raízes da equação e ver o que acontece com elas quando as raízes trocam de lugar.

Comece pelo grau 2. A equação $x^2+bx+c=0$ tem raízes $x_1$ e $x_2$, e sabe-se desde Viète que

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$

Essas duas expressões não mudam se trocarmos $x_1$ com $x_2$. Por isso podem ser escritas com os coeficientes. Já a diferença $x_1-x_2$ muda: vira $x_2-x_1$, o oposto. Ela toma dois valores. Mas o seu quadrado volta a tomar um só, e então pode ser escrito com os coeficientes:

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=b^2-4c.$$

Agora é só tirar a raiz: $x_1-x_2=\pm\sqrt{b^2-4c}$. Sabendo a soma e a diferença, as raízes saem na hora, e o resultado é a fórmula de Bhaskara. O $\pm$ da fórmula é exatamente o sinal dos dois valores que $x_1-x_2$ pode tomar.

O segredo do grau 4

Lagrange refez a mesma análise para os graus 3 e 4. No grau 4, com raízes $x_1, x_2, x_3, x_4$, o truque de Ferrari equivale a olhar para a expressão

$$t=x_1x_2+x_3x_4.$$

Há $4!=24$ maneiras de embaralhar quatro raízes, mas $t$ só toma três valores:

$$\begin{gathered}x_1x_2+x_3x_4,\\ x_1x_3+x_2x_4,\\ x_1x_4+x_2x_3.\end{gathered}$$

Esses três valores são as raízes de uma equação de grau 3, cujos coeficientes se calculam a partir dos da equação original. Como o grau 3 já se sabe resolver, achamos $t$, e daí as raízes. A equação de grau 4 se resolve porque existe uma expressão das raízes que toma menos de quatro valores.

Para o grau 5, Lagrange procurou uma expressão das cinco raízes que tomasse poucos valores, e não encontrou. Desconfiou que o problema não tinha solução, mas não conseguiu provar. O italiano Paolo Ruffini deu em 1799 uma prova quase completa de que não existe fórmula geral, e o norueguês Niels Abel fechou a questão em 1824. Poucos anos depois, Évariste Galois transformou a ideia de Lagrange numa teoria inteira, a teoria dos grupos.

O teorema

No meio dessa análise, Lagrange provou um resultado que hoje leva o seu nome:

Se uma expressão em $n$ letras é embaralhada de todas as $n!$ maneiras possíveis, o número de valores diferentes que ela toma divide $n!$.

Por exemplo, a expressão $t$ de quatro letras toma 3 valores, e 3 divide 24. A expressão $x_1-x_2$, de duas letras, toma 2 valores, e 2 divide $2!=2$.

Por que divide? As trocas que não mudam a expressão formam um grupo de, digamos, $k$ embaralhamentos. Cada valor diferente é obtido por exatamente $k$ dos $n!$ embaralhamentos. Então

$$n!=k\times(\text{número de valores}),$$

e o número de valores é um divisor de $n!$. Para $t$, as trocas que não a mudam são 8, e $24=8\times3$.

Na linguagem moderna, que só apareceu no século XIX, o teorema de Lagrange diz: num grupo finito, o número de elementos de um subgrupo divide o número de elementos do grupo. É um dos primeiros teoremas que qualquer estudante de álgebra aprende. Lagrange não usou a palavra grupo, mas a ideia estava toda lá.

Exercício: quantos valores toma x₁ + x₂ quando quatro raízes são embaralhadas?

Os valores são as somas de duas raízes diferentes: $x_1+x_2$, $x_1+x_3$, $x_1+x_4$, $x_2+x_3$, $x_2+x_4$ e $x_3+x_4$. São 6, e 6 divide 24. As trocas que não mudam $x_1+x_2$ são $24\div6=4$: não fazer nada, trocar $x_1$ com $x_2$, trocar $x_3$ com $x_4$ e fazer as duas trocas.

Exercício: existe uma expressão em quatro letras que tome exatamente 5 valores?

Não. Pelo teorema de Lagrange, o número de valores tem de dividir $4!=24$, cujos divisores são $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12$ e $24$. O 5 não está na lista, então nenhuma expressão de quatro letras toma 5 valores, por mais engenhosa que seja.

Fontes: Joseph-Louis Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770–1771), no tomo 3 das Œuvres de Lagrange · biografia de Lagrange, MacTutor · Israel Kleiner, A History of Abstract Algebra (2007).

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