Os Diagrama de Venn Euler são úteis para uma representação visual dos conjuntos. Na OBMEP 2022 caiu uma questão, com uso desta teoria. Neste post, vamos descrever operações com estes diagramas.

Obra de Euclides.

União de conjuntos

A união de conjuntos é uma das operações mais usadas em conjuntos. Ela vai ser o ponto de partida para operações com conjuntos, definida por:

Definição (União de conjuntos) Dados dois conjuntos $A$ e $B,$ a união destes conjuntos é formado por todos os elementos que pertencem a $A$ ou a $B$ ($A\cup B$). Em termos algébricos, podemos escrever:

$$A\cup B = \\{x;~x\in A ~\text{ ou } x\in B\\}$$
Obra de Euclides.

Casos em União de conjuntos

Conjuntos Disjuntos Conjuntos com Intesersecção Conjuntos Encadeados
Exemplo 1. Exemplo 1. Exemplo 1.

Intersecção de conjuntos

A Intersecção de conjuntos é outra operação, bem usadas em conjuntos. Ela é definida por:

Definição (Intersecção de conjuntos) Dados dois conjuntos $A$ e $B,$ a intersecção destes conjuntos é formado por todos os elementos que pertencem a $A$ e a $B$ ao mesmo tempo ($A\cap B$). Em termos algébricos, podemos escrever:

$$A\cap B = \\{x;~x\in A ~\text{ e } x\in B\\}$$
Obra de Euclides.

Casos em Intersecção de conjuntos

Intersecção Vazia $(A\cap B = \emptyset = \\{~~\\})$ Conjuntos com Intersecção $(A\cap B = C)$ Subconjuntos $(A\cap B = B)$
Exemplo 1. Exemplo 1. Exemplo 1.

Aplicação de Intersecção

(OBMEP 2022 - Nível 1 - Questão 6) A primeira fase da OBMEP é por três provas, de níveis 1, 2 e 3 (N1, N2, N3), com 20 questões em cada prova.

Nessas provas:

  • três questões são comuns aos três níveis
  • duas são comuns somente aos níveis 1 e 2 e
  • outras duas são comuns somente aos níveis 2 e 3.
  • as demais questões só aparecem em uma das provas.

Quantas questões diferentes aparecem nas três provas da primeira fase da OBMEP?

Obra de Euclides.

Diferença de conjuntos

A Diferença de conjuntos é um uso bem comum nesta teoria. Ela é definida por:

Definição (Diferença de conjuntos) Dados dois conjuntos $A$ e $B,$ a diferença destes conjuntos é formado por todos os elementos que pertencem a $A,$ mas não pertencem a $B$ ($A- B$). Em termos algébricos, podemos escrever:

$$A - B = \\{x\in A \text{ tal que } x\notin B\\}$$
Obra de Euclides.

Casos em Diferença de conjuntos

Diferença Vazia $(A - B = \emptyset = \\{~~\\})$ Diferença com Intersecção (Pac-man) Rosquinha
Exemplo 1. Exemplo 1. Exemplo 1.
Observação: A diferença com intersecção parcial de conjuntos tem formato parecido com pac-man.
Obra de Euclides.
Observação: A diferença com intersecção total de conjuntos tem formato parecido com rosquinha.
Obra de Euclides.

Estes são os conceitos de para introdução ao diagrama de Venn. Aguardem os próximos posts.