O menor valor positivo de $x$ para o qual $9^{-\cos x} = \frac{1}{3}$ é:
$9^{-\cos x} = 3^{-2\cos x} = 3^{-1} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$, cujo menor valor positivo é $\frac{\pi}{3}$.
Teste 125CESCEM-73
Se o ponto $(x_0; y_0)$ pertence ao gráfico da função $y = \operatorname{tg} x$, então uma condição necessária e suficiente para que o ponto $(a; y_0)$ também pertença a esse gráfico é:
$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} x_0 \iff a = x_0 + k\pi$: a diferença $a - x_0$ deve ser múltiplo de $\pi$ (o período da tangente).
Teste 126EESCUSP-68
As soluções da equação $\operatorname{sen}\pi x = \operatorname{sen}[\pi(2x + 1)]$ são da forma:
$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta$ dá: $\pi(2x + 1) = \pi x + 2k\pi$, isto é, $x = 2k - 1$ (inteiros ímpares); ou $\pi(2x + 1) = \pi - \pi x + 2k\pi$, isto é, $x = \frac{2k}{3}$. Nenhuma alternativa descreve exatamente esse conjunto: (a), por exemplo, inclui $x = \frac{1}{3}$, que não é solução.
Teste 127ITA-77
Resolvendo a equação $\operatorname{tg}\left(2\log x - \frac{\pi}{6}\right) - \operatorname{tg}\left(\log x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$ (logaritmo natural), temos ($k = 0, 1, 2, \ldots$):
Com $L = \log x$ (natural): $\operatorname{tg}\left(2L - \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(L + \frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow 2L - \frac{\pi}{6} = L + \frac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow L = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (e as tangentes existem, pois os arcos valem $\frac{5\pi}{6} + k\pi$). Logo $x = e^{\pi/2 + k\pi}$, $k \in \mathbb{Z}$, que é o conjunto de (b).
Teste 128CESGRANRIO-77
O número de raízes da equação $\cos x + \operatorname{sen} x = 0$ no intervalo $[\pi, 3\pi]$ é:
$\cos x + \operatorname{sen} x = 0 \iff \operatorname{tg} x = -1 \iff x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$. Em $[\pi, 3\pi]$: $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{4}$.
Teste 129MACK-75
Se $\operatorname{tg} 4x + \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$ para $0 < x < \frac{\pi}{2}$, então $x$ pode ser igual a:
$\operatorname{tg} 4x = -\operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{4} - 2x + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{6}$. Em $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$: $\frac{\pi}{24}$, $\frac{5\pi}{24}$ e $\frac{9\pi}{24}$. Das alternativas, só $\frac{5\pi}{24}$ serve.
Teste 130CESCEA-70
Se $a$ é a menor raiz positiva da equação $(\operatorname{tg} x - 1)(4\operatorname{sen}^2 x - 3) = 0$, então o valor de $\operatorname{sen}^4 a - \cos^2 a$ é:
As raízes positivas vêm de $\operatorname{tg} x = 1$ ($x = \frac{\pi}{4}, \ldots$) ou $\operatorname{sen} x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($x = \frac{\pi}{3}, \ldots$). A menor é $a = \frac{\pi}{4}$: $\operatorname{sen}^4 a - \cos^2 a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
Teste 131CESCEA-75
A soma das raízes da equação $1 - 4\cos^2 x = 0$ compreendidas entre $0$ e $\pi$ é:
$\cos^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos x = \pm\frac{1}{2}$; entre 0 e $\pi$: $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{2\pi}{3}$, de soma $\pi$.
Teste 132CESGRANRIO-76
No intervalo $[0, 6\pi]$, a equação trigonométrica $\cos 2x + 2\operatorname{sen}^2 x + 2 = 0$:
$\cos 2x + 2\operatorname{sen}^2 x = 1$ para todo $x$; o primeiro membro vale sempre 3.
Teste 133ITA-69
A equação $\operatorname{sen}^2\frac{3x}{2} - \cos\frac{3x}{2} = a$ tem solução para valores particulares de $a$. Assinale o item correto:
Com $c = \cos\frac{3x}{2} \in [-1, 1]$: $a = 1 - c^2 - c$, que varia de $-1$ (em $c = 1$) a $\frac{5}{4}$ (em $c = -\frac{1}{2}$). Há solução para $-1 \le a \le \frac{5}{4}$; o único intervalo oferecido contido nesse é o de (c).
Teste 134CESCEM-73
Os valores de $x$ entre $0$ e $2\pi$ que satisfazem a equação $2\operatorname{sen}^2 x + |\operatorname{sen} x| - 1 = 0$ são:
Com $u = |\operatorname{sen} x| \ge 0$: $2u^2 + u - 1 = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}$ (a raiz $-1$ é descartada). $|\operatorname{sen} x| = \frac{1}{2}$ dá os quatro valores de (b).
Teste 135GV-75
A solução da equação $\dfrac{625^{\cos^2 x}}{25^{\cos x}} = 1$ para $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ é:
$\frac{625^{\cos^2 x}}{25^{\cos x}} = 25^{2\cos^2 x - \cos x} = 1 \Rightarrow \cos x(2\cos x - 1) = 0$. Em $\left[0, \frac{\pi}{2}\right[$, $\cos x \ne 0$; resta $\cos x = \frac{1}{2}$, $x = \frac{\pi}{3}$.
Teste 136GV-73
Dada a equação $\cos^2 x - 2\sec^2 x = 1$, com $0 \le x \le \pi$, então:
Com $c = \cos^2 x$: $c - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow c^2 - c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$ ou $c = -1$, ambos impossíveis para um cosseno ao quadrado.
Teste 137GV-75
O conjunto de todas as soluções da equação $\cos^2 x \cdot \operatorname{tg} x = \operatorname{sen} x$ é o conjunto dos números $x$ tais que $x$ é igual a:
Com $\cos x \ne 0$: $\cos^2 x \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \operatorname{sen} x \Rightarrow \operatorname{sen} x(\cos x - 1) = 0$. As duas possibilidades ($\operatorname{sen} x = 0$ ou $\cos x = 1$) dão $x = k\pi$.
Teste 138CESCEM-73
Em função de um número inteiro relativo $k$, todas as soluções da equação $\cos^4\alpha + \operatorname{sen}^4\alpha - 2\operatorname{sen}^2\alpha\cos^2\alpha = 1$ são dadas por:
O primeiro membro é $(\cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha$. Então $\cos^2 2\alpha = 1 \Rightarrow 2\alpha = k\pi \Rightarrow \alpha = \frac{k\pi}{2}$. O gabarito impresso indica (b), $\alpha = k\pi$; mas $\alpha = \frac{\pi}{2}$ também é solução ($0 + 1 - 0 = 1$), e (b) dá só parte das soluções.
Teste 139CESCEM-72
A expressão $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x$:
$\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = (\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x) = 1 - 3\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x$ para todo $x$ (veja o capítulo VII).
Teste 140ITA-71
Qual é o menor valor de $x$ que verifica a equação $\operatorname{tg} x + 3\operatorname{cotg} x = 3$?
Com $t = \operatorname{tg} x$: $t + \frac{3}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 3 = 0$, de discriminante $9 - 12 < 0$. Não há solução.
Teste 141MACK-77
Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo não isósceles são raízes da equação (em $x$) $3\operatorname{tg} x + k^2\operatorname{cotg} x = 4k$. Então:
Multiplicando por $\operatorname{tg} x$: $3t^2 - 4kt + k^2 = 0$, isto é, $(3t - k)(t - k) = 0$, com raízes $k$ e $\frac{k}{3}$. Os ângulos agudos são complementares, então o produto das tangentes é 1: $\frac{k^2}{3} = 1$, $k = \sqrt{3}$ (as tangentes são positivas).
Teste 142UNB-74
Se $\sec^2 x + \operatorname{tg} x - 7 = 0$ e $0 < x < \frac{\pi}{2}$, então:
$1 + \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 7 = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = 2$ (no 1º quadrante). Então $\sec^2 x = 5$ e $\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Teste 143CESCEA-71
O conjunto solução da equação $3\operatorname{tg}^2 x + 5 = \dfrac{7}{\cos x}$ no intervalo fechado $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ é:
Com $s = \sec x$: $3(s^2 - 1) + 5 = 7s \Rightarrow 3s^2 - 7s + 2 = 0 \Rightarrow s = 2$ ou $s = \frac{1}{3}$ (impossível). $\cos x = \frac{1}{2}$ em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ dá $\pm\frac{\pi}{3}$.
Teste 144FEI-73
A equação $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x$, no intervalo $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$, tem:
$\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x \iff \operatorname{sen} x(2\cos x - 1) = 0$. No intervalo: $x = 0$, $x = \pi$ e $x = \frac{\pi}{3}$ ($-\frac{\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$ ficam de fora). O gabarito impresso indica 4 soluções, mas $-\frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{4}$ e $\frac{5\pi}{3} > \frac{5\pi}{4}$ ficam fora do intervalo.
Teste 145ITA-72
Assinale uma solução para a equação trigonométrica $\sqrt{3}\operatorname{sen} x + \cos x = \sqrt{3}$:
$\sqrt{3}\operatorname{sen} x + \cos x = 2\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ dá $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, isto é, $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. O gabarito indica (b); observe, porém, que (d) também dá soluções da equação — a questão tem duas alternativas corretas.
Teste 146ITA-73
Seja a equação $(\log_e m)\operatorname{sen} x \pm \cos x = \log_e m$. Quais as condições sobre $m$ para que a equação admita solução?
É preciso $m > 0$ para existir $\log_e m$. Para todo $m > 0$ a equação tem solução: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ sempre serve ($L = L$). As alternativas impõem restrições que não existem — em (a), por exemplo, $m = 1$ é excluído, mas com $m = 1$ ainda há a solução $x = \frac{3\pi}{2}$.
Teste 147PUC-73
Se $\dfrac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} = 1 - \operatorname{sen} 2x$, então os valores de $x$ são ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$):
O primeiro membro é $\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\cos x + \operatorname{sen} x}$ e o segundo, $(\cos x - \operatorname{sen} x)^2$. Então $\cos x = \operatorname{sen} x$ ($x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, ambos os membros nulos) ou $(\cos x - \operatorname{sen} x)(\cos x + \operatorname{sen} x) = \cos 2x = 1$ ($x = k\pi$). O gabarito indica (a), que dá só uma das duas famílias: nenhuma alternativa traz o conjunto-solução completo.
No intervalo $0 \le x \le 2\pi$, o número de soluções da equação trigonométrica $\cos^9 x + \cos^8 x + \cos^7 x + \cdots + \cos x + 1 = 0$:
Com $c = \cos x$, o primeiro membro é a soma de uma progressão geométrica: $\frac{c^{10} - 1}{c - 1}$ (se $c \ne 1$; se $c = 1$ ele vale 10). É zero se $c^{10} = 1$ e $c \ne 1$, isto é, $c = -1$: só $x = \pi$.
Teste 150ITA-71
A equação $\operatorname{sen}(\cos x) \cdot \cos(\cos x) = 1$ é satisfeita para:
Sendo $0 < x < \pi$, a equação $2\log\operatorname{sen} x + \log 2 = 0$ tem por solução:
$\log(2\operatorname{sen}^2 x) = 0 \Rightarrow \operatorname{sen}^2 x = \frac{1}{2}$; em $]0, \pi[$, $\operatorname{sen} x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ($\log\operatorname{sen} x$ exige seno positivo): $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{3\pi}{4}$.
Teste 152ITA-72
Quais condições devem satisfazer $a$ e $k$ para que a igualdade $\log(\sec a) = k$ tenha sentido?
O logaritmo exige $\sec a > 0$, isto é, $\cos a > 0$: $-\frac{\pi}{2} + 2n\pi < a < \frac{\pi}{2} + 2n\pi$; nesse caso $\sec a \ge 1$ e $k = \log\sec a \ge 0$. A alternativa (a) dá só uma dessas faixas ($n = 0$); como condição para que a igualdade tenha sentido, ela é suficiente mas não necessária — por isso o gabarito indica (e).
Teste 153MACK-77
O número de soluções reais da equação $x^2 - x - \cos x = 0$, com $-\pi \le x \le \pi$, é:
Seja $f(x) = x^2 - x - \cos x$. Temos $f(-\pi) > 0$, $f(0) = -1 < 0$ e $f(\pi) > 0$: há pelo menos uma raiz em cada lado de 0. Como $f''(x) = 2 + \cos x > 0$, $f$ é convexa e não tem mais de duas raízes. (Graficamente: a parábola $y = x^2 - x$ corta a curva $y = \cos x$ em dois pontos.)
Teste 154SANTA CASA-77
O menor valor de $x$ que satisfaz a equação $\log x = \cos x$ está entre:
Para $x \le 1$, $\log x \le 0 < \cos x$ (se $x$ estiver entre 0 e 1). Em $x = 1$, $\log 1 = 0 < \cos 1 \approx 0{,}54$; em $x = 1{,}6$, $\log 1{,}6 > 0 > \cos 1{,}6$. A primeira interseção está entre 1 e 1,6 (cerca de 1,42 em base 10, ou 1,30 em base $e$).
Teste 155ITA-71
Dada a equação $\log(\cos x) = \operatorname{tg} x$, as soluções dessa equação em $x$ satisfazem a relação:
É preciso $\cos x > 0$, e então $\log(\cos x) \le 0$; logo $\operatorname{tg} x \le 0$. As soluções ficam no 4º quadrante (incluindo os múltiplos de $2\pi$, como $x = 2\pi$, em que os dois membros são nulos). Na primeira volta positiva, isso é $\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$.
Dividindo por $\cos^2(e^x)$: $3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 = 0$, com $t = \operatorname{tg} e^x$, de raízes $\sqrt{3}$ e $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Então $e^x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ ou $e^x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, que juntas formam $e^x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$, $k = 1, 2, 3, \ldots$ (é preciso $e^x > 0$).
Teste 157ITA-73
Seja a equação $3\operatorname{tg} 3x = [3(\log_e t)^2 - 4\log_e t + 2]\operatorname{tg} x$, $x \ne n\pi$. Quais as condições sobre $t$ para que a equação admita solução?
Com $u = \operatorname{tg} x \ne 0$ e $A = 3L^2 - 4L + 2$ ($L = \log_e t$): $\frac{3(3u - u^3)}{1 - 3u^2} = Au \Rightarrow u^2 = \frac{A - 9}{3(A - 1)}$, que precisa ser positivo: $A < 1$ ou $A > 9$. $A < 1 \iff \frac{1}{3} < L < 1 \iff e^{1/3} < t < e$; $A > 9 \iff L < -1$ ou $L > \frac{7}{3} \iff 0 < t < \frac{1}{e}$ ou $t > e^{7/3}$.
