FUVEST 2024 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: FUVEST – prova da 1ª fase, versão V e gabarito oficial (retificado em 24/11/2023), disponíveis no acervo da FUVEST 2024.

A 1ª fase da FUVEST 2024 (Prova de Conhecimentos Gerais, 19/11/2023) teve 90 questões de todas as disciplinas. Este post traz apenas as 12 questões de matemática. A numeração usada aqui é a da Prova V; nas versões K, Q, X e Z as mesmas questões aparecem com outros números.

Gabarito

Questão 13: Matrizes e conexões numa rede social

Enunciado

Matrizes podem ser usadas para se obter informações sobre uma rede social. Para compreender como isso pode ser feito, consideremos como exemplo uma pequena rede social formada por 4 pessoas: $P_1, P_2, P_3, P_4$. A matriz associada a essa rede social é a matriz $4 \times 4$:

O valor 1 (um) na posição $a_{32}$ (linha 3, coluna 2) da matriz significa que a pessoa $P_3$ segue a pessoa $P_2$, ao passo que o valor 0 (zero) na posição $a_{24}$ (linha 2, coluna 4) significa que a pessoa $P_2$ não segue a pessoa $P_4$. O valor 0 (zero) será atribuído às posições $a_{ii}$. O significado do valor da posição $b_{mn}$ da matriz produto $M \times M = M^2$ é a quantidade de conexões da pessoa $P_m$ até a pessoa $P_n$ passando exatamente por uma pessoa, diferente delas duas, que chamaremos de conexão de grau 2.

Dessa forma, os valores das posições da matriz $M^2$ podem refletir o alcance da rede social, suas potencialidades e fraquezas, a influência de certos membros dela, dentre outros aspectos.

Com relação à rede social apresentada, é correto afirmar que:

• A) Existem 5 pares de pessoas diferentes ($P_i \neq P_j$) que não possuem conexões de grau 2.
• B) Existem 6 pares de pessoas diferentes ($P_i \neq P_j$) que possuem apenas uma conexão de grau 2.
• C) Existem 3 pares de pessoas diferentes ($P_i \neq P_j$) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes.
• D) Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social.
• E) Existe apenas 1 pessoa $P_i$ ($i \neq 3$) tal que $P_i$ e $P_3$ seguem-se mutuamente.

Note e adote: A posição $b_{mn}$ da matriz produto $M \times M = M^2$ é dada pela expressão $b_{mn} = a_{m1}a_{1n} + a_{m2}a_{2n} + a_{m3}a_{3n} + a_{m4}a_{4n}$

Resolução

1. Calcular $M^2$. Cada termo $a_{mk}a_{kn}$ vale 1 só quando $P_m$ segue $P_k$ e $P_k$ segue $P_n$, ou seja, conta um caminho $P_m \to P_k \to P_n$. Fazendo linha por coluna:

Por exemplo, $b_{13} = a_{12}a_{23} + a_{14}a_{43} = 1 + 1 = 2$: de $P_1$ chega-se a $P_3$ passando por $P_2$ ou por $P_4$.

2. Olhar só as posições fora da diagonal (pessoas diferentes, $m \neq n$). São 12 pares ordenados:

3. Testar as alternativas.

• A) São 4 pares sem conexão de grau 2, não 5. Falsa.
• B) São exatamente 6 pares com uma única conexão de grau 2. Verdadeira.
• C) São 2 pares com duas conexões, não 3. Falsa.
• D) Só $P_3$ tem $b_{3n} \geq 1$ para todo $n \neq 3$ (a linha 3 fora da diagonal é $1, 1, 1$). Falsa.
• E) $P_2$ e $P_3$ se seguem ($a_{23} = a_{32} = 1$) e também $P_4$ e $P_3$ ($a_{43} = a_{34} = 1$): são 2 pessoas, não 1. Falsa.

Resposta: alternativa B.

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Questão 31: Água retirada de um caminhão-pipa cilíndrico

Enunciado

O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa d’água. Após o abastecimento, o motorista percebeu que o reservatório do caminhão estava cheio até 3/4 de sua altura, conforme ilustrado na figura.

Qual foi o volume, em metros cúbicos, de água utilizada para abastecer a caixa d’água da escola, sabendo que o reservatório do caminhão estava cheio antes do abastecimento?

• A) $\left(2\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
• B) $\left(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$
• C) $\left(2\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$
• D) $\left(4\pi + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
• E) $\left(4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$

Resolução

A água usada é a parte de cima do cilindro que ficou vazia. Como o cilindro está deitado, o volume é (área da seção vazia) × (comprimento).

1. A seção. O círculo tem raio $r = 1$ m. Cheio até $3/4$ da altura (altura total 2 m) significa nível da água a $1{,}5$ m do fundo, ou seja, $0{,}5$ m acima do centro. A parte vazia é um segmento circular cuja corda está a distância $d = 0{,}5$ do centro.

2. Ângulo central. Seja $\theta$ o ângulo central que enxerga essa corda. No triângulo formado pelo centro, o meio da corda e uma extremidade da corda:

3. Área do segmento = área do setor − área do triângulo:

4. Volume usado.

Resposta: alternativa B ($2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}$ m³).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa E, $4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}$, é o volume de água que ficou no caminhão ($6\pi - V$). A pergunta é quanto foi usado.

Para revisar, veja Área do Círculo.

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Questão 33: Aumento no custo de um medicamento

Enunciado

Uma empresa farmacêutica produz certo medicamento, o qual é formado por quatro componentes, conforme indicado na tabela I. O custo do grama de cada um dos componentes desse medicamento também é apresentado nessa tabela.

Tabela I

Para a produção do próximo lote do medicamento, a empresa terá um gasto diferente para fabricá-lo, pois os custos de alguns componentes sofreram alterações, conforme mostra a tabela II.

Tabela II

Qual é o aumento, em reais, no custo do medicamento?

• A) 9,25
• B) 12,00
• C) 12,75
• D) 36,00
• E) 86,00

Note e adote: Considere que os outros custos de produção permaneceram inalterados.

Resolução

1. Custo de cada componente numa unidade do medicamento. As quantidades estão em mg e o custo em R$ por grama; $1 \text{ mg} = 0{,}001$ g.

2. Variação de cada custo.

• A: $+7\%$ de 140 $= +9{,}80$
• B: $-5\%$ de 35 $= -1{,}75$
• C: $0$
• D: $+10\%$ de 12 $= +1{,}20$

3. Somar.

Resposta: alternativa A (R$ 9,25).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (12,00) vem de somar as porcentagens ($7 - 5 + 0 + 10 = 12$) como se fossem reais. Cada porcentagem incide sobre um valor diferente.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 34: Listas com moda = mediana = média = amplitude

Enunciado

Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12.

Assinale a alternativa que representa a quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição: moda = mediana = média = amplitude = 23.

• A) 8
• B) 9
• C) 11
• D) 22
• E) 44

Resolução

Escreva a lista em ordem crescente: $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5$.

1. Traduzir as condições.

• Mediana 23: $x_3 = 23$.
• Média 23: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5 \cdot 23 = 115$.
• Amplitude 23: $x_5 = x_1 + 23$.
• Moda 23: o 23 aparece mais vezes que qualquer outro número. Como $x_3 = 23$, é preciso que $x_2 = 23$ ou $x_4 = 23$.

Não pode ser $x_2 = x_3 = x_4 = 23$: sobraria $x_1 + x_5 = 46$ com $x_5 - x_1 = 23$, o que dá $x_1 = 11{,}5$, não inteiro. Então o 23 aparece exatamente duas vezes, e os outros três números têm de ser distintos entre si (senão haveria empate na moda).

2. Caso $x_2 = 23$ e $x_4 > 23$. Da soma: $x_1 + x_4 + (x_1 + 23) = 69$, logo $x_4 = 46 - 2x_1$. Precisamos de $23 < x_4 \leq x_5$:

São 4 listas: $x_1 = 8, 9, 10, 11$, por exemplo $(8, 23, 23, 30, 31)$.

3. Caso $x_4 = 23$ e $x_2 < 23$. Da soma: $x_1 + x_2 + (x_1 + 23) = 69$, logo $x_2 = 46 - 2x_1$. Precisamos de $x_1 \leq x_2 < 23$:

São 4 listas: $x_1 = 12, 13, 14, 15$, por exemplo $(12, 22, 23, 23, 35)$.

Em nenhum dos casos aparecem valores repetidos além do 23, então a moda é mesmo 23.

4. Total: $4 + 4 = 8$ listas.

Resposta: alternativa A (8).

Para revisar, veja Medidas de Posição e Medidas de Dispersão.

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Questão 35: Horários do relógio digital refletidos no vidro

Enunciado

Um relógio digital utiliza os seguintes numerais para representar um determinado horário:

Esse relógio está colocado sobre uma mesa de vidro, de forma que o vidro reflete o horário em sua superfície. A figura mostra um exemplo dessa situação:

De 00:00 até as 23:59, quantas vezes o vidro refletirá um horário válido?

• A) 96
• B) 360
• C) 540
• D) 640
• E) 960

Resolução

1. O que o reflexo faz. O vidro está embaixo do relógio, então ele inverte a imagem de cima para baixo, mantendo a ordem dos dígitos da esquerda para a direita (18:02 vira 18:05).

2. Quais dígitos continuam sendo dígitos. Invertendo cada numeral de cima para baixo:

• $0 \to 0$, $1 \to 1$, $3 \to 3$, $8 \to 8$ (são simétricos);
• $2 \to 5$ e $5 \to 2$ (é o que a foto mostra);
• $4$, $6$, $7$ e $9$ viram figuras que não são numerais (por exemplo, o 6 invertido tem a “barriga” em cima e à esquerda, o que não é o 9 deste relógio).

Então só servem os dígitos $\{0, 1, 2, 3, 5, 8\}$.

3. Contar os horários HH:MM cujo reflexo também é um horário.

• Dezena da hora: pode ser 0, 1 ou 2, mas o 2 refletido vira 5, e não existe hora 5_. Restam 2 opções (0 ou 1).
• Unidade da hora: com dezena 0 ou 1, qualquer dígito válido serve, antes e depois do reflexo: 6 opções.
• Dezena do minuto: tem de ser no máximo 5: $\{0, 1, 2, 3, 5\}$, e os reflexos $\{0, 1, 5, 3, 2\}$ também são no máximo 5: 5 opções.
• Unidade do minuto: 6 opções.

Resposta: alternativa B (360).

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Questão 48: Embalagens numa caixa de transporte

Enunciado

Uma empresa de alimentos utiliza embalagens, no formato de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 2 cm x 3 cm x 11 cm, para armazenar biscoitos. Para o transporte desse produto, são utilizadas caixas para acondicionar essas embalagens, também no formato de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 12 cm x 13 cm x 26 cm. A imagem a seguir ilustra um paralelepípedo reto-retângulo.

Determine o número máximo de embalagens que podem ser acondicionadas em cada caixa fechada para transporte, sem que o produto seja danificado.

• A) 48
• B) 52
• C) 56
• D) 60
• E) 61

Nota: no gabarito oficial (retificado em 24/11/2023), a FUVEST considerou corretas as alternativas D e E.

Resolução

1. Limite pelo volume. Cada embalagem tem $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$ cm³ e a caixa tem $12 \cdot 13 \cdot 26 = 4\thinspace 056$ cm³. Como $4\thinspace 056 / 66 \approx 61{,}5$, não cabem mais que 61 embalagens.

2. Um arranjo com 60. Deite as embalagens com o lado de 11 cm ao longo da aresta de 26 cm: duas camadas ocupam $22$ cm. Cada camada é um retângulo $12 \times 13$, que pode ser coberto por completo com 26 retângulos $2 \times 3$ (uma faixa $12 \times 9$ com 18 deles e uma faixa $12 \times 4$ com 8). São $2 \cdot 26 = 52$ embalagens. Sobra uma fatia $12 \times 13 \times 4$, onde cabem mais 8 (11 cm ao longo dos 12 cm, e a face $13 \times 4$ com $4 \cdot 2$ retângulos $3 \times 2$). Total: 60.

3. Um arranjo com 61. Agora coloque o lado de 11 cm ao longo da aresta de 13 cm.

• No bloco $12 \times 11 \times 26$: 3 cm ao longo dos 12 cm (4 fileiras) e 2 cm ao longo dos 26 cm (13 fileiras), 11 cm ao longo dos 11 cm: $4 \cdot 13 = 52$ embalagens, sem sobra.
• Sobra uma fatia de $12 \times 2 \times 26$ (2 cm de espessura). Nela as embalagens ficam com o lado de 2 cm na espessura, e a face $12 \times 26$ recebe retângulos $3 \times 11$: $4 \cdot 2 = 8$ (3 ao longo de 12, 11 ao longo de 26, usando 22 cm), e na faixa $12 \times 4$ que sobra cabe mais um (11 ao longo de 12, 3 ao longo de 4). São 9.

Total: $52 + 9 = 61$, exatamente o limite do item 1. Logo o máximo é 61.

Resposta: o máximo é 61, alternativa E. O gabarito oficial da FUVEST aceitou D e E.

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Questão 49: Espaço que sobrou na garagem (paralelogramo)

Enunciado

No Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo, encontra-se a regulamentação para vagas de estacionamento em um edifício para diferentes tipos de veículos. De acordo com o código, as dimensões de uma vaga de estacionamento são estabelecidas de acordo com o tipo de veículo, conforme a seguinte tabela:

Tabela: Dimensões das vagas de estacionamento em função do tipo de veículo (medidas em metros).

Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo. Adaptado.

Na figura a seguir, é apresentada parte de um projeto de garagem para um edifício. Foram projetadas vagas para automóveis e uma vaga para moto, no formato de paralelogramo, com ângulo α de medida 60°.

Observação: A imagem não está em escala.

Após a vaga da moto, restou um espaço na garagem. Os responsáveis pela obra estão avaliando a possibilidade de colocar algum objeto que possa ser utilizado pelos condôminos do edifício. Qual a medida do segmento destacado (tracejado) nesse espaço?

• A) 0,75 m
• B) 1,15 m
• C) 1,25 m
• D) 2,20 m
• E) 2,25 m

Note e adote: $\cos(60^\circ) = 0{,}5$ ; $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Resolução

Pela figura, a largura de cada vaga é medida na horizontal (ao longo das linhas paralelas) e o comprimento é o lado inclinado, que faz $60^\circ$ com a horizontal.

1. O lado inclinado da última vaga de automóvel. Ele sai do canto superior direito (encostado na parede) e desce até a linha de baixo, com comprimento $4{,}50$ m. Seu deslocamento horizontal é

Então o pé desse lado fica $2{,}25$ m à esquerda da parede.

2. A vaga da moto. Ela começa exatamente nesse pé (seu lado esquerdo está sobre o lado inclinado da vaga de automóvel) e ocupa, na linha de baixo, a sua largura: $1{,}00$ m.

3. O que sobra até a parede:

Resposta: alternativa C (1,25 m).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa E (2,25 m) é só a projeção horizontal do comprimento da vaga de automóvel; ela esquece de descontar a largura da vaga da moto.

Para revisar, veja Paralelogramo.

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Questão 59: Exponencial e sua inversa

Enunciado

Considere a função $f$, dada por $f(x) = b^x$, com $b > 0$, $b \neq 1$ e $x \in \mathbb{R}$, e a sua inversa $f^{-1}$. A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de $f$ e outro ao gráfico de $f^{-1}$. Determine $b + k$.

• A) $\frac{5}{6}$
• B) $1$
• C) $\frac{6}{5}$
• D) $\frac{13}{5}$
• E) $\frac{18}{5}$

Resolução

1. Qual ponto é de qual gráfico. O gráfico de $f(x) = b^x$ corta o eixo $y$ (em $y = 1$) e existe para todo $x$; é a curva que se aproxima do eixo $x$ à direita, onde está o ponto $\left(3, \frac{27}{125}\right)$. O gráfico de $f^{-1}(x) = \log_b x$ só existe para $x > 0$ e é a curva que “sobe” colada ao eixo $y$, onde está o ponto $\left(\frac{9}{25}, k\right)$.

2. Achar $b$.

3. Achar $k$. O ponto $\left(\frac{9}{25}, k\right)$ está no gráfico da inversa, então $f^{-1}\left(\frac{9}{25}\right) = k$, isto é, $f(k) = \frac{9}{25}$:

4. Somar. $b + k = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5}$.

Resposta: alternativa D ($\frac{13}{5}$).

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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Questão 60: Gráfico de um sistema linear

Enunciado

Considere o sistema linear $\begin{cases} x + 2y = 4 \\\\ 3x - y = 5 \end{cases}$. Assinale a alternativa que representa graficamente esse sistema.

Resolução

Cada equação é uma reta; o gráfico certo tem as duas retas certas, e não só o ponto de encontro certo.

1. Solução do sistema. Da 2ª equação, $y = 3x - 5$. Substituindo na 1ª:

As retas se cruzam em $(2, 1)$.

2. Cada reta.

• $x + 2y = 4$: passa por $(0, 2)$ e $(4, 0)$; inclinação $-\frac{1}{2}$ (desce devagar).
• $3x - y = 5$: passa por $(0, -5)$ e $(2, 1)$; inclinação $3$ (sobe rápido).

3. Comparar. Em A, B e C as retas não se cruzam em $(2, 1)$. Em D e E o encontro é em $(2, 1)$, mas em D a reta decrescente é muito inclinada (corta o eixo $y$ perto de 4,5), então não é $x + 2y = 4$. Em E, a reta decrescente passa por $(0, 2)$ e $(4, 0)$ e a crescente passa por $(0, -5)$: as duas conferem.

Resposta: alternativa E.

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D também mostra retas se cruzando em $(2, 1)$. Conferir só o ponto de interseção não basta; é preciso conferir os pontos em que cada reta corta os eixos.

Para revisar, veja Funções de Primeiro Grau.

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Questão 63: Árvore Pitagórica (PG e logaritmo)

Enunciado

Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.

Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/.

A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?

• A) 26
• B) 27
• C) 28
• D) 29
• E) 30

Note e adote: $\log_{10} 2 = 0{,}3$

Resolução

1. Razão entre etapas. Num triângulo retângulo isósceles de hipotenusa $\ell$, cada cateto mede $\frac{\ell}{\sqrt{2}}$. Então, a cada etapa, o lado é multiplicado por $\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$.

2. Lado na etapa $n$ (PG com primeiro termo 1):

3. Condição. Um décimo de milésimo é $10^{-4}$:

Aplicando $\log_{10}$ (que é crescente):

O menor inteiro é $n - 1 = 27$, ou seja, $n = 28$.

Conferindo: na etapa 27, $\ell = 2^{-13} = \frac{1}{8192} \approx 1{,}2 \times 10^{-4}$ (ainda maior); na etapa 28, $\ell = 2^{-13{,}5} \approx 0{,}86 \times 10^{-4}$ (menor).

Resposta: alternativa C (28).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (27) aparece quando se usa $\ell_n = 2^{-n/2}$, esquecendo que a Etapa 1 já tem lado $1 = 2^0$.

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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Questão 84: Taxas de homicídio de mulheres (leitura de gráfico)

Enunciado

O Atlas da Violência, publicado em 2019 e organizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada e Fórum Brasileiro de Segurança Pública, apresenta um estudo para melhor compreender a violência no país. Os dados que ali constam referem-se ao período de 2007 a 2017. Um dos capítulos desse documento trata, especificamente, da violência contra a mulher. O gráfico a seguir mostra a evolução da taxa de homicídios de mulheres (equivalente ao número de homicídios por 100 mil mulheres), de 2007 a 2017, no Brasil e nas três unidades federativas com as menores taxas em 2017.

Ipea/FBSP. Atlas da Violência, 2019.

De acordo com os dados apresentados, é correto afirmar:

• A) Dentre as unidades federativas citadas, a que teve maior decréscimo na taxa de homicídios de mulheres no período entre 2014 e 2017 foi São Paulo.
• B) As três unidades federativas indicadas tiveram um decréscimo na taxa de homicídios de mulheres em 2017 quando comparada com a taxa de 2007.
• C) A taxa de homicídios de mulheres no Brasil em 2017 é maior que a soma das taxas das três unidades federativas apresentadas neste mesmo ano.
• D) Dentre as unidades federativas apontadas, a que apresentou a maior taxa de homicídios de mulheres em 2017 é Santa Catarina, superando a taxa registrada nos demais estados da região Sul.
• E) Dentre as unidades federativas mencionadas, a maior redução na taxa de homicídios de mulheres, entre 2016 e 2017, registrada na pesquisa ocorreu no Distrito Federal.

Resolução

Leituras aproximadas do gráfico (taxa por 100 mil mulheres):

A) Falsa. De 2014 a 2017, o DF caiu cerca de $4{,}1 - 2{,}9 = 1{,}2$ ponto; São Paulo caiu só cerca de $2{,}7 - 2{,}2 = 0{,}5$.

B) Falsa. Santa Catarina subiu de cerca de 2,3 (2007) para 3,1 (2017).

C) Falsa. A soma das três taxas em 2017 é cerca de $2{,}9 + 3{,}1 + 2{,}2 = 8{,}2$, bem maior que a do Brasil (cerca de 4,7).

D) Falsa. Santa Catarina tem de fato a maior das três taxas em 2017, mas o gráfico não traz os outros estados da região Sul (Paraná e Rio Grande do Sul); não dá para concluir que ela os supera. Além disso, o próprio enunciado diz que essas três unidades têm as menores taxas do país em 2017.

E) Verdadeira. De 2016 para 2017, o DF caiu de cerca de 4,1 para 2,9 (queda de aproximadamente 1,2). Santa Catarina ficou praticamente estável e São Paulo variou muito pouco.

Resposta: alternativa E.

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Questão 85: Números triangulares e oblongos

Enunciado

Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.

A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta.

• A) 162 é o 15º número triangular.
• B) O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.
• C) 156 não é um número oblongo, nem triangular.
• D) 210 é um número triangular e oblongo.
• E) A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.

Resolução

1. Fórmulas. O $n$-ésimo número triangular é $1 + 2 + \cdots + n$:

O $n$-ésimo número oblongo é um quadro com $n$ linhas e $n + 1$ colunas:

2. Testar as alternativas.

• A) $T_{15} = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120 \neq 162$. Falsa.
• B) $T_{13} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 91 = 7 \cdot 13$, que não é primo (e $O_{30} = 30 \cdot 31 = 930$ é par). Falsa.
• C) $156 = 12 \cdot 13 = O_{12}$ é oblongo. Falsa.
• D) $210 = \frac{20 \cdot 21}{2} = T_{20}$ e $210 = 14 \cdot 15 = O_{14}$. Verdadeira.
• E) $T_{n+1} - T_n = n + 1$: as diferenças $2, 3, 4, \ldots$ formam uma progressão aritmética, não geométrica. Falsa.

Resposta: alternativa D (210).

Para revisar, veja Geometria com sequências de números.

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