Achar o meio exato de um segmento é uma das construções mais antigas e mais usadas da geometria.

Quem descobriu

A construção mais antiga que conhecemos está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), na proposição I.10: “cortar ao meio uma reta finita dada”. Euclides levanta um triângulo equilátero sobre o segmento, divide o ângulo do topo ao meio e prova, por triângulos congruentes, que a divisão cai exatamente no meio. Muito depois, o dinamarquês Georg Mohr (1672) e o italiano Lorenzo Mascheroni (1797) mostraram que dá para achar o ponto médio só com compasso, sem régua.

Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público
Lorenzo Mascheroni.
Lorenzo Mascheroni.Francesco Saverio Redenti · Wikimedia Commons · CC0

A história

Para Euclides, achar o ponto médio não era medir e dividir por dois: era construir um ponto e provar que ele divide o segmento em partes iguais. A prova usa resultados anteriores — o triângulo equilátero (I.1), a bissetriz (I.9) e o caso LAL de congruência (I.4) —, um bom exemplo de como os Elementos encadeiam proposições.

Dividir um segmento ao meio: os triângulos e as igualdades justificam a posição do ponto médio.
Dividir um segmento ao meio: os triângulos e as igualdades justificam a posição do ponto médio.Ilustração didática original do blog.

O livro de Mascheroni, Geometria do Compasso, foi dedicado a Napoleão Bonaparte, que gostava de geometria; o desafio de dividir uma circunferência em quatro arcos iguais só com compasso ficou conhecido como “problema de Napoleão”.

No dia a dia

  • Pendurar um quadro. O prego vai no ponto médio da largura da parede ou do móvel abaixo dela.
  • Dobrar ao meio. Dobrar uma folha, um guardanapo ou uma toalha encontra o ponto médio sem nenhuma medição.
  • Encontro no meio do caminho. Duas pessoas que saem de cidades diferentes e querem andar a mesma distância procuram o ponto médio da estrada.
  • Gangorra. O apoio fica no meio da prancha para que ela fique equilibrada sem ninguém em cima.

Fontes: Elementos, proposição I.10 · Mascheroni (MacTutor) · Mohr (MacTutor).

Teoria e construções

DefiniçãoPonto médio

Um ponto $M$ é ponto médio do segmento $\overline{AB}$ se, e somente se, $M$ está entre $A$ e $B$ e $\overline{AM} \equiv \overline{MB}$.

$M$ é ponto médio de $\overline{AB}$: $M \in \overline{AB}$ e $\overline{MA} \equiv \overline{MB}$.

TeoremaUnicidade do ponto médio

Um segmento tem um único ponto médio.

Demonstração (por absurdo)

  1. Suponha que $X$ e $Y$, distintos, sejam ambos pontos médios de $\overline{AB}$. Então $AX = XB$ (1) e $AY = YB$ (2).
  2. Caso 1: $X$ está entre $A$ e $Y$. Então $AY > AX$ e, como $Y$ está entre $X$ e $B$, $XB > YB$. Juntando: $AY > AX = XB > YB$, ou seja, $AY > YB$ — o que contradiz (2).
  3. Caso 2: $Y$ está entre $A$ e $X$. Do mesmo modo, $AX > AY = YB > XB$, ou seja, $AX > XB$ — o que contradiz (1).
  4. Os dois casos levam a absurdos. Logo, o ponto médio de $\overline{AB}$ é único.

A existência do ponto médio será provada mais adiante, com a construção da mediatriz (capítulo 6).