Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum. (Assim como pende o fio flexível, assim ficará de pé, invertido, o arco rígido.)

— Robert Hooke, anagrama decifrado em 1705

Pegue uma corrente fina pelas duas pontas e deixe-a pender. Ela forma uma curva bonita, que parece uma parábola. Galileu, em 1638, achou que fosse mesmo uma parábola, pelo menos aproximadamente. O holandês Christiaan Huygens, aos 17 anos, mostrou que não podia ser. Mas que curva era, ninguém sabia.

Em maio de 1690, Jakob Bernoulli publicou a pergunta nas Acta Eruditorum, como desafio aos leitores. Ele mesmo tentou durante um ano e não conseguiu. Em junho de 1691 saíram três soluções corretas: de Leibniz, de Huygens, então com 62 anos, e do irmão caçula de Jakob, Johann, com 24. Johann nunca deixou ninguém esquecer:

Os esforços do meu irmão não tiveram sucesso. Quanto a mim, fui mais feliz, pois encontrei a habilidade, digo-o sem me gabar, por que esconderia a verdade?, de resolvê-lo por inteiro. É verdade que isso me custou um estudo que me roubou o descanso de uma noite inteira.

— Johann Bernoulli, carta a Pierre Rémond de Montmort (1718)

Olhar para um pedaço da corrente

O truque é não olhar para a corrente inteira, mas para um pedaço dela. Ponha a origem no ponto mais baixo, com $y$ para cima, e considere o trecho que vai desse ponto até um ponto $P$ à direita.

Esse trecho está parado, então as forças sobre ele se equilibram. São três:

  • no ponto mais baixo, a corrente puxa para a esquerda, na horizontal, com uma força $H$;
  • em $P$, a corrente puxa na direção da tangente, com uma força $T$;
  • o peso do trecho, $w\,s$, onde $w$ é o peso por metro e $s$ é o comprimento do trecho.

Na horizontal, a componente horizontal de $T$ equilibra $H$; na vertical, a componente vertical de $T$ equilibra o peso. Como $T$ aponta na direção da tangente, a razão entre as duas componentes é a inclinação $y'$:

$$y'=\frac{\text{vertical}}{\text{horizontal}}=\frac{w\,s}{H}=\frac sa,\qquad a=\frac Hw.$$

O número $a$ tem dimensão de comprimento e mede o quanto a corrente está esticada.

A equação da corrente

Agora derivamos em relação a $x$. O comprimento cresce com $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y'^2}$, pelo teorema de Pitágoras aplicado a um pedacinho da curva. Então

$$y''=\frac1a\sqrt{1+y'^2}.$$

Chamando $u=y'$, separamos as variáveis:

$$\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{a}.$$

A integral do lado esquerdo é $\operatorname{arsenh}u$, a inversa do seno hiperbólico $\operatorname{senh}z=\frac{e^z-e^{-z}}2$. Como a inclinação é zero no ponto mais baixo, $u(0)=0$, e

$$u=y'=\operatorname{senh}\frac xa.$$

Integrando de novo, com $y(0)=0$:

$$\boxed{y=a\left(\cosh\frac xa-1\right),\qquad \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}2.}$$

A função $\cosh$ é o cosseno hiperbólico. O comprimento do trecho sai de brinde: $s=a\,y'=a\operatorname{senh}\frac xa$.

Johann não escreveu assim: o número $e$ e as funções hiperbólicas ainda não tinham nome. Ele descreveu a curva por uma construção geométrica com logaritmos. Mas a curva é a mesma, e o nome que Huygens lhe deu ficou: catenária, do latim catena, corrente.

Por que parece uma parábola

Perto do ponto mais baixo, a série de $\cosh$ dá

$$\cosh z=1+\frac{z^2}2+\frac{z^4}{24}+\cdots\quad\Longrightarrow\quad y\approx\frac{x^2}{2a}.$$

Perto do fundo, a catenária é quase uma parábola. Galileu não estava tão errado: o erro só aparece longe do ponto mais baixo, onde a catenária sobe mais depressa. A parábola aparece de verdade quando o peso é distribuído por metro na horizontal, e não por metro de corrente. É o caso de uma ponte pênsil, em que o cabo, leve, segura um tabuleiro pesado e plano.

Desenhos de Giovanni Poleni (1748). À esquerda, uma corrente pendurada e, por cima, a mesma curva invertida, que dá a forma ideal de um arco. À direita, Poleni pendura pesos numa corrente para verificar se a cúpula de São Pedro, em Roma, que estava rachando, ia aguentar.
Desenhos de Giovanni Poleni (1748). À esquerda, uma corrente pendurada e, por cima, a mesma curva invertida, que dá a forma ideal de um arco. À direita, Poleni pendura pesos numa corrente para verificar se a cúpula de São Pedro, em Roma, que estava rachando, ia aguentar.Giovanni Poleni, Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano (1748) · Wikimedia Commons · domínio público

O arco que é uma corrente ao contrário

Numa corrente pendurada, cada elo só é puxado pelos vizinhos, sempre na direção da curva. Se você congelar a corrente e virá-la de cabeça para baixo, cada pedra só será empurrada pelas vizinhas na direção da curva, sem nenhuma força que a faça escorregar para o lado. Por isso o arco em forma de catenária invertida fica de pé sem argamassa. Robert Hooke tinha percebido isso em 1675 e escondeu a descoberta num anagrama, que só foi decifrado depois da sua morte: é a citação no começo deste texto.

Em 1748, Giovanni Poleni usou a ideia para examinar a cúpula da Basílica de São Pedro, que apresentava rachaduras. O arquiteto catalão Antoni Gaudí projetava os arcos da igreja da Colônia Güell e da Sagrada Família pendurando correntes com saquinhos de areia e fotografando de cabeça para baixo.

Exercício: uma corrente com a = 2 m. Qual é a altura dela 2 m à direita do ponto mais baixo? Compare com a parábola.

Com $x=a=2$, $y=2(\cosh1-1)=2(1{,}5431-1)\approx1{,}086$ m. A aproximação parabólica dá $\frac{x^2}{2a}=\frac44=1$ m. A diferença, de quase 9 cm, mostra que longe do fundo a catenária sobe mais depressa que a parábola.

Exercício: mostre que y = a cosh(x/a), a forma sem o −1, satisfaz y² − s² = a², onde s é o comprimento a partir do ponto mais baixo.

Temos $y=a\cosh\frac xa$ e $s=a\operatorname{senh}\frac xa$. Então

$$y^2-s^2=a^2\left(\cosh^2\frac xa-\operatorname{senh}^2\frac xa\right)=a^2,$$

pela identidade $\cosh^2z-\operatorname{senh}^2z=1$, que se verifica direto a partir das definições com $e^z$. É a versão hiperbólica de $\cos^2+\operatorname{sen}^2=1$.

Fontes: Johann Bernoulli, “Solutio problematis funicularii”, Acta Eruditorum (junho de 1691) · biografia de Johann Bernoulli, MacTutor · Jacques Heyman, The Stone Skeleton (Cambridge, 1995).

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