Triângulo é um polígono de três lados, em que usamos para os lados um segmentos de reta. Ela é um caso particular de quadriláteros, pois é um quadrilátero dividido por 2.

  • Vértices: pode ser definido como pontos de encontro entre os lados de um triângulo. Genericamente, os vértices são pontos de encontro entre lados de qualquer polígono.

Em particular um triângulo é formado por 3 vértices.

  • Diagonal: é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de uma polígono plano e espacial qualquer.

Uma das propriedades importante dos triângulos é que possuem diagonais. Uma observação importante é que não existe triângulo que possua dois vértices não consecutivos. A diagonal de um quadrilátero, por exemplo, é um dos lados de um triângulo.

O triângulo retângulo pela derivação do nome, tem um dos ângulos reto (90 graus), isto é, dois lados do triângulo são perpendiculares1, como em dois lados de um quadrado. A seguir, conforme história apresentamos os nomes impostos a força pelos livros didáticos.

Triângulo Retângulo.

O que conhecemos como Catetos representam aquile que é perpendicular ⊥, já o que conhecemos como Hipotenusa é aquilo que está abaixo de duas retas perpendiculares (esticado).

Triângulo Retângulo.

A seguir, vamos definir alguns termos:

Definição Triângulo Retângulo.
  • lados: AB, BC, AC
  • ângulos internos: $B\hat{A} C$, $A\hat{B} C$, $A\hat{C} B$
  • medidas dos lados:
    • a = medida de BC
    • b = medida de AC
    • c = medida de AB
  • medidas dos ângulos:
    • $\hat{A}$= medida de $B\hat{A} C$
    • $\hat{B}$ = medida de $A\hat{B} C$
    • $\hat{C}$= medida de $A\hat{C} B$

Triângulo Equilátero

O triângulo equilátero pode ser derivados das palavras equi (iguais) látero (lados) e pode ser obtido a partir de um triângulo retângulo. O triângulo retângulo é metade (½) de um triângulo equilátero.

Do triângulo retângulo notamos que a hipotenusa do exemplo a seguir tem distância a, um dos catetos tem distância h e o outro cateto a/2. Conforme figura a seguir:

Triângulo Retângulo.

Ao desdobrarmos o triângulo retângulo, obtemos o triângulo equilátero (3 lados iguais) a seguir.

Exemplo 1:

$$ \begin{aligned} h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a\\ h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 4~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 3~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \end{aligned} $$

Triângulo Retângulo.

Com isso, obtemos:

$$h= \frac{a}{2}~.~\text{radix}~ 3$$

Exemplo 2:

$$ \begin{aligned} \text{radix}4~.~\text{radix}4 &= 4\\ \sqrt{4}~.~\sqrt{4} &= 4\\ \sqrt{4~.~4} &= 4\\ \sqrt{16} &= 4 \end{aligned} $$

Exemplo 3:

$$ \begin{aligned} \text{radix}5~.~\text{radix}5 &= 5\\ \sqrt{5}~.~\sqrt{5} &= 5\\ \sqrt{5~.~5} &= 5\\ \sqrt{25} &= 5 \end{aligned} $$

Portanto:

radix quadratum 9 aequalis 3

$$\sqrt{9} = 3$$

Relações métrica de um triângulo retângulo

Se tomarm os um triângulo ABC retângulo e conduzirmos AD perpendicular a BC, com D em BC, obtemos:

  • AD = altura relativa à hipoten usa (medida: h)
  • BD = projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida: m)
  • CD = projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida : n)
  • $\hat{B}\equiv \hat{1}$ e $\hat{C}\equiv \hat{2}$ pois $AB \perp AC$ e $BC \perp AD$

Propriedades Triângulo Retângulo.

Propriedade 1

$\Delta ABC \sim \Delta DBA$ implica $\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{m}.$ Logo

$$c² = a. m$$

$\Delta ABC \sim \Delta DAC$ implica $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{n}.$ Logo

$$b² = a. n$$

Propriedade 2

Propriedades Triângulo Retângulo.

$\Delta DBA \sim \Delta DAC$ implica $\dfrac{h}{n} = \dfrac{m}{h}.$ Logo

$$h² = m. n$$

Propriedade 3 (Teorema de pitágoras)

Da propriedade 1 temos que $c^2 = a.m$ e $b^2 = a.n$. Ao somarmos estas duas equações:

$$b^2 + c^2 = a.n + a.m = a(n+m) = a.a = a^2$$

Com isso, temos o teorema de pitágoras:

$$b^2 + c^2 = a^2$$

Propriedade 4 (triangulo retângulo inscrito em uma circunferência)

Outra propriedade notável dos triângulos retângulos pode ser vista se tomarmos os pontos médios dos lados (M, N, O) e ligarmos conforme a figura.

Propriedades Triângulo Retângulo.

O polígono AMON é um retângulo, portanto:

$$OA \equiv MN \equiv \dfrac{BC}{2}$$

isto é, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade desta.

Como conseqüência temos que:

$$OA \equiv OB \equiv OC \equiv \dfrac{BC}{2} \equiv r$$

em que $r$ é o raio da circunferência.

Exercícios resolvidos

Exercício 1: Determine x em função de a Propriedades Triângulo Retângulo.

Resolução:

a) Como a base do triângulo retângulo é metade da hipotenusa, temos que ao dobrarmos este retângulo, temos um triângulo equilátero. Neste caso, $x$ é dados pela altura de um triângulo equilátero:

$$\text{altura} = h = \frac{\text{lado} \sqrt{3} }{2}$$

Logo, temos que:

$$x = \frac{2a \sqrt{3} }{2} = a\sqrt{3}$$

b) Análogo ao item a, temos, que temos um triângulo equilátero. Desta forma, $x$ é metade do lado do triângulo equilátero.

$$x = \frac{\text{lado} }{2} = \frac{a}{2}$$

Exercício 2: Determine x, y, z e t:

Resolução:

Para $t$ basta usarmos o teorema de pitágoras, pois $t$ é a hipotenusa.

$$t^2 = 5^2 + 12^2 $$

$$t^2 = 252 + 144 $$

$$t^2 = 169 $$

$$t = \sqrt{169} $$

$$t = 13 $$

Da propriedade 1, temos que:

$$c^2 = y~. ~t$$

$$5^2 = y~. ~13$$

$$ y= \frac{25}{13}$$

e

$$b^2 = z~. ~t$$

$$144 = z~. ~13$$

$$ z= \frac{144}{13}$$

Da propriedade 2, temos que:

$$x^2 = y ~.~ z$$

$$x^2 = \frac{25}{13} ~.~ \frac{144}{13}$$

$$x^2 = \frac{25 ~.~ 144}{13 ~.~ 13} $$

$$x = \sqrt{\frac{5^2 ~.~ 12^2}{13^2} }$$

$$x = \frac{60}{13} $$

Exercício 3: Determine x no trapézio:

Resolução:

Pitágoras:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

$$10^2 = x^2 + 8^2$$

$$x^2 = 100 - 64$$

$$x^2 = 36$$

$$x^2 = 6^2$$

$$x = 6$$

Exercício 4: Determine x no paralelogramo:

Resolução:

Bata fazermos as relações da figura:

Esse é um triângulo retângulo clássico o famoso $3-4-5$.

Logo, o valor de $x=5$.

Estes são os conceitos dos triângulos retângulos. Aguardem os próximos posts.

  1. Retas perpendiculares são quando duas retas se cruzam, formando um ângulo reto entre elas, ou seja, um ângulo de 90º. ↩︎