Para escrever a equação das placas vibrantes, Sophie Germain precisou responder a uma pergunta que parece simples: quanto uma superfície está dobrada num ponto? A resposta dela, a curvatura média, é usada até hoje para estudar bolhas de sabão, membranas de células e cascas de avião.

A curvatura de uma curva

Comecemos por uma linha. Uma reta não se dobra, e dizemos que a sua curvatura é zero. Um círculo se dobra igualmente em todos os pontos, e quanto menor ele é, mais se dobra. Por isso a curvatura de um círculo de raio $R$ é definida como

$$\kappa=\frac1R.$$

Um círculo de 1 cm de raio tem curvatura 1; um de 1 metro, $0{,}01$ por centímetro. Para uma curva qualquer, toma-se em cada ponto o círculo que melhor se encaixa nela ali, o círculo osculador, e a curvatura é o inverso do raio dele.

Uma superfície tem muitas curvaturas

Numa superfície, a coisa se complica. Pense num ponto do lado de uma lata. Se você andar ao longo da lata, na vertical, o caminho é reto: curvatura zero. Se andar em volta dela, o caminho é um círculo de raio $r$: curvatura $\frac1r$. Em direções intermediárias, valores intermediários.

Em 1760, Euler mostrou que isso sempre acontece de um jeito organizado. Em cada ponto há uma direção de curvatura máxima, $\kappa_1$, e uma de curvatura mínima, $\kappa_2$, perpendiculares entre si. São as curvaturas principais. Numa direção que faz um ângulo $\theta$ com a primeira, a curvatura é

$$\kappa(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta.$$

A ideia de Sophie Germain

Sophie Germain precisava de um número que dissesse quanto a placa resiste a ser dobrada. A hipótese dela foi somar as duas curvaturas principais. Hoje usamos a metade dessa soma, que se chama curvatura média:

$$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}.$$

O nome é exato. Se você calcular a média de $\kappa(\theta)$ em todas as direções, como a média de $\cos^2\theta$ e de $\sin^2\theta$ numa volta completa é $\frac12$, o resultado é justamente $\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$. A curvatura média é a média das curvaturas em todas as direções.

Numa esfera de raio r, as duas curvaturas principais valem 1/r. Num cilindro, uma vale 1/r e a outra 0. Na sela, no ponto central, elas são iguais com sinais opostos e se cancelam.
Numa esfera de raio r, as duas curvaturas principais valem 1/r. Num cilindro, uma vale 1/r e a outra 0. Na sela, no ponto central, elas são iguais com sinais opostos e se cancelam.Ilustração de Euler’s Eyes
  • Esfera de raio $r$: as duas curvaturas são $\frac1r$, e $H=\frac1r$.
  • Cilindro de raio $r$: uma curvatura é $\frac1r$ e a outra é $0$, e $H=\frac1{2r}$.
  • Sela: a superfície sobe numa direção e desce na outra, as curvaturas têm sinais opostos, e no ponto central $H=0$.

Germain e Gauss: soma e produto

Em 1827, Gauss, o correspondente de Sophie, estudou outra combinação das mesmas duas curvaturas: o produto $K=\kappa_1\kappa_2$, hoje chamado de curvatura gaussiana. Os dois números dizem coisas diferentes.

O produto de Gauss mede o que não muda quando se dobra a superfície sem esticar. Um cilindro tem $K=0$, como uma folha de papel, e de fato se enrola de uma folha sem amassar. Uma esfera tem $K=\frac1{r^2}$, e por isso nenhum mapa-múndi é perfeito.

A soma de Germain mede o que custa energia: quanto a superfície está curvada, sem importar se ela poderia ser desenrolada. É por isso que ela aparece na elasticidade e nas películas.

Bolhas de sabão

Em 1805, Thomas Young e Pierre-Simon Laplace descobriram que a pressão dentro de uma superfície com tensão é maior que a de fora, numa quantidade proporcional à curvatura média. Uma bolha de sabão é redonda porque, para um volume dado, a esfera é a forma com a mesma curvatura média em todos os pontos.

E uma película de sabão presa num arame, sem ar dos dois lados, tem a mesma pressão nas duas faces. Então a sua curvatura média é zero em todo ponto: ela se curva para um lado numa direção e para o outro lado na direção perpendicular, como uma sela. O físico belga Joseph Plateau estudou essas superfícies mínimas com arames e sabão em 1873, e elas viraram um dos temas mais ricos da geometria.

Exercício: calcule H e K para um cilindro de raio 2 e para uma esfera de raio 2

Cilindro: $\kappa_1=\frac12$ e $\kappa_2=0$, então $H=\frac14$ e $K=0$. Esfera: $\kappa_1=\kappa_2=\frac12$, então $H=\frac12$ e $K=\frac14$. Com o mesmo raio, a esfera tem o dobro da curvatura média do cilindro.

Exercício: qual é a sobrepressão dentro de uma bolha de sabão de 1 cm de raio?

A película de sabão tem duas faces, por dentro e por fora, e cada uma contribui com $\frac{2\gamma}{R}$, onde $\gamma\approx0{,}025$ N/m é a tensão superficial da água com sabão. Então

$$\Delta p=\frac{4\gamma}{R}=\frac{4\cdot0{,}025}{0{,}01}=10\ \text{Pa}.$$

É cerca de um décimo de milésimo da pressão atmosférica. Uma bolha menor tem pressão maior: por isso, quando duas bolhas se tocam, a pequena empurra a grande.

Fontes: Louis L. Bucciarelli e Nancy Dworsky, Sophie Germain: An Essay in the History of the Theory of Elasticity (1980) · Leonhard Euler, “Recherches sur la courbure des surfaces” (1760) · biografia de Sophie Germain, MacTutor.

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