Euler's Eyes
2026-10-11
Posições relativas de reta e circunferência
Uma reta pode cortar uma circunferência em dois pontos, tocá-la em um só ou passar longe. A reta que só toca é a tangente.
Quem descobriu
As propriedades da tangente estão no livro III dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). A proposição III.16 mostra que a reta perpendicular ao raio, na sua extremidade, toca a circunferência num único ponto, e a III.18 prova a recíproca: a tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato. A palavra tangente vem do latim tangere, “tocar”.
A história
A proposição III.16 gerou uma das polêmicas mais longas da geometria. Euclides afirma que o “ângulo” entre a circunferência e a tangente é menor que qualquer ângulo formado por retas. Esse ângulo de contingência seria maior que zero e menor que qualquer ângulo — algo estranho. No século XVI, Jacques Peletier e Cristóvão Clávio discutiram durante anos se ele era mesmo um ângulo; a questão só foi bem resolvida séculos depois.
A tangente também foi o ponto de partida do cálculo diferencial. No século XVII, Fermat, Descartes, Newton e Leibniz procuravam um método para traçar a tangente a qualquer curva — e a derivada nasceu como resposta.
No dia a dia
- Roda no chão. Uma roda toca a rua num único ponto; a rua é tangente à roda.
- Faíscas do esmeril. As faíscas saem pela tangente à pedra que gira — o mesmo vale para a lama que sai de um pneu.
- Funda e lançamento de martelo. O objeto, ao ser solto, segue a tangente à trajetória circular.
- Curvas de estrada. Engenheiros ligam trechos retos e curvos de forma tangente, para que o volante não precise de um “tranco”.
Fontes: Elementos, proposição III.16 · Elementos, proposição III.18 · Clávio (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoSecante, tangente e exterior
- Uma reta é secante a uma circunferência se a intercepta em dois pontos distintos.
- É tangente se a intercepta num único ponto (o ponto de tangência); os demais pontos da reta são externos.
- É exterior se não a intercepta.
PropriedadePropriedades da secante
a) Se uma secante corta a circunferência em $A$ e $B$ e $M$ é o ponto médio da corda $\overline{AB}$ ($M \neq O$), então $\overline{OM} \perp \overline{AB}$ (caso LLL nos triângulos $OAM$ e $OBM$).
b) Reciprocamente, a perpendicular à corda traçada pelo centro passa pelo ponto médio da corda (caso cateto-hipotenusa).
Consequência: a mediatriz de uma corda passa pelo centro.
TeoremaPropriedade da tangente
a) Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade (na circunferência) é tangente à circunferência.
b) Toda tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Ver as demonstrações
a) Seja $t \perp \overline{OT}$ em $T$ e $E$ outro ponto de $t$. O segmento $\overline{OE}$ é oblíquo e $\overline{OT}$ é perpendicular a $t$, logo $OE > OT = r$: $E$ é externo. Então $t$ tem um único ponto comum com a circunferência: é tangente.
b) Se $t$ não fosse perpendicular a $\overline{OT}$, seja $M$ o pé da perpendicular a $t$ por $O$ ($M \neq T$). Tomando $X$ na semirreta oposta a $\overrightarrow{MT}$ com $MX = MT$, os triângulos $OMX$ e $OMT$ seriam congruentes (LAL), e $OX = OT = r$: $X$ estaria na circunferência, e $t$ a cortaria em dois pontos — absurdo.
ResumoReta e circunferência
Sendo $d$ a distância do centro à reta:
| $d < r$ | $d = r$ | $d > r$ |
|---|---|---|
| secante (2 pontos) | tangente (1 ponto) | exterior (nenhum ponto) |