Em 1900, no Congresso Internacional de Matemáticos, em Paris, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas que, para ele, guiariam a matemática do século XX. O problema 19 perguntava, em linguagem simples: as soluções dos problemas “bem comportados” do cálculo das variações são sempre funções suaves? Meio século depois, a pergunta continuava aberta para uma classe importante de equações. Em 1956, Nash ouviu falar dela por um colega e decidiu atacá-la.

A equação do calor

Comece pelo exemplo mais simples. Uma barra de metal muito comprida tem temperatura $u(x,t)$ no ponto $x$ e no instante $t$. O calor flui do quente para o frio, e a temperatura obedece à equação do calor, de Fourier:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$

onde $\kappa>0$ é a difusividade do material. A equação diz que a temperatura num ponto sobe quando ele está mais frio que a média dos vizinhos, e desce quando está mais quente.

Se no instante zero toda a energia térmica está concentrada num ponto, a solução para $t>0$ é a gaussiana

$$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}.$$

Vamos conferir. Derivando em $t$ e duas vezes em $x$,

$$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$

São iguais. A curva em sino se alarga e baixa com o tempo, mantendo a área 1: a energia se conserva e se espalha. A largura cresce como $\sqrt t$, exatamente como a distância percorrida no movimento browniano de Einstein. Não é coincidência: o calor é a agitação das moléculas, e a equação do calor descreve um passeio aleatório visto de longe.

Quando o material é irregular

A gaussiana tem uma propriedade notável: mesmo que a temperatura inicial seja um pico infinitamente concentrado, para qualquer $t>0$ a solução é perfeitamente suave. A difusão alisa tudo.

Mas e se o material não for uniforme? Imagine uma placa feita de pedaços de cobre, madeira e vidro, colados de qualquer jeito, cada um conduzindo calor de um modo. A equação fica

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right),$$

em que a condutividade $a(x,t)$ pode pular bruscamente de um pedaço para o outro. Só se exige que fique entre dois limites positivos, $0<\lambda\leq a\leq\Lambda$. Com um coeficiente tão irregular, não há fórmula para a solução, e nem está claro que ela tenha derivadas. A pergunta é: a temperatura pode variar de modo violento, ou o calor ainda alisa as coisas?

O teorema

Nash provou, em 1957, que o calor ainda alisa: em qualquer dimensão, as soluções dessas equações são contínuas de Hölder, isto é, existem constantes $C$ e $0<\alpha\leq1$, que dependem só de $\lambda$, $\Lambda$ e da dimensão, tais que

$$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$

A temperatura não pode dar saltos, por mais desordenado que seja o material. A prova de Nash era profundamente original: usava ideias de probabilidade e de entropia, tratando o calor como uma massa que se espalha, para controlar a solução sem fórmula nenhuma. Com esse resultado, o problema 19 de Hilbert ficou resolvido para essa classe de equações.

Exercício: para a gaussiana com κ = 1, quanto vale a temperatura no centro em t = 1 e em t = 4?

No centro, $x=0$, e $G(0,t)=\frac1{\sqrt{4\pi t}}$. Em $t=1$, $G\approx\frac1{3{,}545}\approx0{,}282$. Em $t=4$, $G=\frac1{\sqrt{16\pi}}\approx0{,}141$: a metade. Quadruplicar o tempo divide a altura por 2 e dobra a largura, mantendo a área.

Exercício: a função u(x) = √|x| é contínua de Hölder? Com qual expoente?

Sim, com $\alpha=\frac12$: para $x,y\geq0$, $|\sqrt x-\sqrt y|\leq\sqrt{|x-y|}$, e o mesmo vale nos outros casos com $C=\sqrt2$. Mas $u$ não tem derivada em $x=0$: a reta tangente fica vertical. Ser Hölder é um controle mais fraco que ser derivável, e é exatamente o que o teorema de De Giorgi-Nash garante.

Fontes: John Nash, “Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations”, American Journal of Mathematics 80 (1958) · Ennio De Giorgi, “Sulla differenziabilità e l’analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”, Memorie dell’Accademia delle Scienze di Torino (1957) · justificativa do Prêmio Abel de 2015.

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