Reduzir ainda mais a tabela

Em um triângulo retângulo, os ângulos agudos são complementares. O cateto oposto a um é o adjacente ao outro. Assim:

$$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x.$$

Para $\pi/4\le x\le\pi/2$, o complemento $\pi/2-x$ pertence a $[0,\pi/4]$. Desse modo, valores na segunda metade do primeiro quadrante podem ser calculados a partir dos da primeira metade, trocando seno por cosseno.

Também:

$$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\cot x,$$

$$\sec\left(\frac\pi2-x\right)=\csc x,$$

nos respectivos domínios. A interpretação geométrica pela troca dos catetos demonstra as relações para ângulos agudos; a leitura das coordenadas do ciclo estende as identidades aos demais valores permitidos.

Identidades para qualquer volta

As simetrias do ciclo fornecem, para todo real $x$:

$$\sin(\pi-x)=\sin x,\quad\cos(\pi-x)=-\cos x,$$

$$\sin(x+\pi)=-\sin x,\quad\cos(x+\pi)=-\cos x.$$

Retirar múltiplos de $2\pi$ reduz qualquer entrada à primeira volta. Essas fórmulas permitem então trabalhar no primeiro quadrante sem perder os sinais.

Funções pares e ímpares

O domínio de uma função par ou ímpar deve ser simétrico em relação a zero. A função é par se $f(-x)=f(x)$ e ímpar se $f(-x)=-f(x)$.

A reflexão no eixo horizontal conserva o cosseno e inverte o seno. Portanto, cosseno e secante são pares; seno, tangente, cotangente e cossecante são ímpares. As afirmações valem onde as funções existem.

Um exemplo de simplificação

Usando complemento e paridade:

$$\begin{aligned} \sin(-x)+\cos\left(\frac\pi2-x\right) &=-\sin x+\sin x=0. \end{aligned}$$

Essa igualdade não é apenas uma coincidência para um ângulo notável: vale para todo real $x$.

No dia a dia

  • Cancelamento de ruído. Os fones emitem a onda do ruído com o sinal trocado; o seno ser ímpar explica por que isso a anula.
  • Tábuas até $45^\circ$. As tábuas impressas usavam a troca seno ↔ cosseno de complementares para trazer só metade dos valores.
  • Sol e zênite. A altura do Sol acima do horizonte e a distância ao zênite são complementares: o seno de uma é o cosseno da outra.
Seno ímpar: a onda com o sinal trocado cancela a original.

Exercícios com resolução

1. Se $\cos15°=a$, expresse $\sin75°$ por $a$.

Conferir resolução 1

Como $75°=90°-15°$, $\sin75°=\cos15°=a$.

2. Simplifique $\cos(-x)-\cos x+\tan(-x)+\tan x$.

Conferir resolução 2

A paridade do cosseno cancela os dois primeiros termos; a imparidade da tangente cancela os demais. O resultado é 0, no domínio $\cos x\ne0$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

Índice da etapa · ← Aula anterior · Próxima aula →