Euler's Eyes
2026-10-11
A noção "estar entre"
“B está entre A e C.” Euclides usou essa ideia em quase toda demonstração — sem nunca explicá-la.
Quem descobriu
O primeiro a transformar “estar entre” em axiomas foi o alemão Moritz Pasch (1843–1930), professor em Giessen, no livro Lições de Geometria Moderna, de 1882. Antes dele, Carl Friedrich Gauss já havia observado, numa carta de 1832, que palavras como “entre” precisariam ser esclarecidas numa exposição completa da geometria. David Hilbert incorporou as ideias de Pasch em 1899, nos chamados axiomas de ordem.
A história
Por dois mil anos ninguém sentiu falta dessa definição, porque o desenho resolvia: basta olhar a figura para ver qual ponto está no meio. O problema aparece quando se quer uma prova que não dependa da figura. Há “demonstrações” famosas, como a de que todo triângulo é isósceles, que parecem corretas e só falham porque um ponto foi desenhado do lado errado de outro. Os axiomas de ordem impedem esse tipo de engano.
Pasch defendia que uma demonstração deveria continuar válida mesmo para quem nunca visse a figura. Essa exigência mudou a maneira de escrever geometria e abriu caminho para o trabalho de Hilbert.
No dia a dia
- Filas. Saber quem está entre você e o caixa diz quantas pessoas faltam.
- Estações de metrô. Numa linha reta de trem, se a estação B está entre A e C, quem vai de A a C passa obrigatoriamente por B.
- Quilômetros de uma rodovia. O km 120 está entre o km 100 e o km 150; a ordem dos marcos permite localizar um acidente ou uma saída.
- Barra de progresso. O marcador de um vídeo está sempre entre o início e o fim, e sua posição indica quanto falta.
Fontes: Moritz Pasch (MacTutor) · Hilbert (MacTutor).
Teoria e construções
PostuladoPostulados da noção estar entre
Quaisquer que sejam os pontos $A$, $B$ e $P$:
- se $P$ está entre $A$ e $B$, então $A$, $B$ e $P$ são colineares;
- se $P$ está entre $A$ e $B$, então $A$, $B$ e $P$ são distintos dois a dois;
- se $P$ está entre $A$ e $B$, então $A$ não está entre $P$ e $B$, nem $B$ está entre $A$ e $P$;
- se $A$ é distinto de $B$, então existe um ponto $P$ que está entre $A$ e $B$.
O último postulado tem uma consequência curiosa: entre $A$ e $P$ existe outro ponto, entre esse e $A$ mais outro, e assim por diante. Entre dois pontos distintos há infinitos pontos.