Euler's Eyes
2026-10-22
Cotangente, secante e cossecante
As três últimas funções circulares completam o quadro. A cotangente é lida no eixo horizontal que toca o ciclo em $B$; a secante e a cossecante aparecem quando traçamos a reta tangente ao ciclo em $P$ e vemos onde ela corta os eixos.
A história
Os nomes “secante” e “tangente” vêm da geometria do círculo: a reta tangente toca a circunferência (tangere, tocar) e a secante a corta (secare, cortar). Na figura da definição, o segmento $\overline{OS}$ fica sobre uma reta que, prolongada, é secante ao ciclo, e o segmento $\overline{AT}$ fica sobre a reta tangente em $A$. Esses segmentos já eram tabelados pelos astrônomos árabes: Abu al-Wafa, no século X, organizou as seis funções e mostrou como cada uma se obtém das outras.
Fontes: Abu al-Wafa (MacTutor) · Trigonometric functions (MacTutor).
No dia a dia
- Telhados (secante). O caibro que vence meia largura $d$ de um telhado com inclinação $\alpha$ mede $d\sec\alpha$; o carpinteiro corta a madeira por essa conta.
- Rampas (cossecante). Para subir uma altura $h$ com inclinação $\alpha$, a rampa mede $h\operatorname{cossec}\alpha$. Com a inclinação máxima da norma brasileira de acessibilidade (8,33%, $\alpha \approx 4{,}76^\circ$), vencer 50 cm exige cerca de 6 m de rampa.
- Sombras (cotangente). Uma vara de altura $h$ com o Sol a uma altura angular $\alpha$ projeta uma sombra de $h\operatorname{cotg}\alpha$ — o princípio dos relógios de sol.
Teoria
Função cotangente
DefiniçãoCotangente e função cotangente
Dado um número real $x$, com $x \ne k\pi$, seja $P$ a sua imagem no ciclo. Considere a reta $\overleftrightarrow{OP}$ e seja $D$ a sua intersecção com o eixo das cotangentes. A cotangente de $x$ (indicamos $\operatorname{cotg} x$) é a medida algébrica do segmento $\overline{BD}$.
A função cotangente é a função $f\colon D \to \mathbb{R}$ que associa a cada real $x \ne k\pi$ o real $\overline{BD} = \operatorname{cotg} x$.
Para $x = k\pi$, o ponto $P$ está em $A$ ou em $A'$ e a reta $\overleftrightarrow{OP}$ fica paralela ao eixo das cotangentes: não existe $D$, e $\operatorname{cotg} x$ não é definida.
PropriedadePropriedades da função cotangente
- O domínio é $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne k\pi\}$.
- A imagem é $\mathbb{R}$: para todo $y$ real existe $x$ real com $\operatorname{cotg} x = y$.
- Se $x$ é do 1º ou do 3º quadrante, $\operatorname{cotg} x$ é positiva.
- Se $x$ é do 2º ou do 4º quadrante, $\operatorname{cotg} x$ é negativa.
- Se $x$ percorre qualquer um dos quatro quadrantes, $\operatorname{cotg} x$ é decrescente.
- A função cotangente é periódica e o seu período é $\pi$.
Ver as demonstrações
2. Dado $y$, marque no eixo das cotangentes o ponto $D$ com $\overline{BD} = y$; a reta $\overleftrightarrow{OD}$ corta o ciclo em dois pontos, imagens de reais cuja cotangente é $y$.
3 e 4. No 1º e no 3º quadrantes, a reta $OP$ corta o eixo $d$ à direita de $B$ ($\overline{BD} > 0$); no 2º e no 4º, à esquerda ($\overline{BD} < 0$).
5. No 1º quadrante, quando $x$ cresce de $0$ a $\frac{\pi}{2}$, a reta $OP$ fica cada vez mais “em pé” e o ponto $D$ se aproxima de $B$ vindo da direita: $\overline{BD}$ decresce (de $+\infty$ a 0). No triângulo retângulo $OBD$, de cateto fixo $OB = 1$, o cateto $BD$ diminui quando o ângulo $B\hat OD$ diminui, e esse ângulo é o complemento de $x$. Os outros quadrantes são análogos.
6. $x$ e $x + k\pi$ têm imagens coincidentes ou diametralmente opostas, que determinam a mesma reta $OP$ e o mesmo ponto $D$. Logo $\operatorname{cotg}(x + k\pi) = \operatorname{cotg} x$, e o menor valor positivo de $k\pi$ é $\pi$.
Função secante
DefiniçãoSecante e função secante
Dado um número real $x$, com $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, seja $P$ a sua imagem no ciclo. Considere a reta $s$ tangente ao ciclo em $P$ e seja $S$ a sua intersecção com o eixo dos cossenos. A secante de $x$ (indicamos $\sec x$) é a abscissa $\overline{OS}$ do ponto $S$.
A função secante é a função $f\colon D \to \mathbb{R}$ que associa a cada real $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ o real $\overline{OS} = \sec x$.
Para $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, o ponto $P$ está em $B$ ou $B'$, a reta $s$ fica paralela ao eixo dos cossenos e $\sec x$ não é definida.
PropriedadePropriedades da função secante
- O domínio é $D = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$.
- A imagem é $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$: para todo $y$ com $y \le -1$ ou $y \ge 1$ existe $x$ com $\sec x = y$.
- Se $x$ é do 1º ou do 4º quadrante, $\sec x$ é positiva.
- Se $x$ é do 2º ou do 3º quadrante, $\sec x$ é negativa.
- Se $x$ percorre o 1º ou o 2º quadrante, $\sec x$ é crescente.
- Se $x$ percorre o 3º ou o 4º quadrante, $\sec x$ é decrescente.
- A função secante é periódica e o seu período é $2\pi$.
Ver as demonstrações
A chave é o triângulo $OPS$: ele é retângulo em $P$ (o raio é perpendicular à tangente) e tem cateto $OP = 1$. Se o ângulo $P\hat OS$ mede $\theta$, então $\cos\theta = \dfrac{OP}{OS} = \dfrac{1}{OS}$, ou seja, $|\overline{OS}| = \dfrac{1}{|\cos x|}$; e $S$ está do mesmo lado de $O$ que a projeção de $P$ no eixo $u$. Portanto
$$\sec x = \frac{1}{\cos x}.$$2. Como $0 < |\cos x| \le 1$, temos $|\sec x| \ge 1$. Reciprocamente, se $|y| \ge 1$, então $\frac{1}{y} \in [-1, 1]$ e existe $x$ com $\cos x = \frac{1}{y}$, isto é, $\sec x = y$.
3 e 4. $\sec x$ tem o sinal de $\cos x$: positiva no 1º e no 4º quadrantes, negativa no 2º e no 3º.
5 e 6. No 1º quadrante, $\cos x$ decresce e é positivo, logo $\frac{1}{\cos x}$ cresce; no 2º, $\cos x$ decresce e é negativo, logo o inverso também cresce (vai de $-\infty$ a $-1$). No 3º e no 4º, $\cos x$ cresce e o inverso decresce.
7. $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ implica $\sec(x + 2k\pi) = \sec x$; o menor período positivo é $2\pi$, pois $\sec 0 = 1$ só se repete após uma volta inteira.
Função cossecante
DefiniçãoCossecante e função cossecante
Dado um número real $x$, com $x \ne k\pi$, seja $P$ a sua imagem no ciclo. Considere a reta $s$ tangente ao ciclo em $P$ e seja $C$ a sua intersecção com o eixo dos senos. A cossecante de $x$ (indicamos $\operatorname{cossec} x$) é a ordenada $\overline{OC}$ do ponto $C$.
A função cossecante é a função $f\colon D \to \mathbb{R}$ que associa a cada real $x \ne k\pi$ o real $\overline{OC} = \operatorname{cossec} x$.
Para $x = k\pi$, o ponto $P$ está em $A$ ou $A'$, a reta $s$ fica paralela ao eixo dos senos e $\operatorname{cossec} x$ não é definida.
PropriedadePropriedades da função cossecante
- O domínio é $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne k\pi\}$.
- A imagem é $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$.
- Se $x$ é do 1º ou do 2º quadrante, $\operatorname{cossec} x$ é positiva.
- Se $x$ é do 3º ou do 4º quadrante, $\operatorname{cossec} x$ é negativa.
- Se $x$ percorre o 2º ou o 3º quadrante, $\operatorname{cossec} x$ é crescente.
- Se $x$ percorre o 1º ou o 4º quadrante, $\operatorname{cossec} x$ é decrescente.
- A função cossecante é periódica e o seu período é $2\pi$.
Ver as demonstrações
No triângulo $OPC$, retângulo em $P$ com $OP = 1$, o ângulo $P\hat OC$ é o complemento do ângulo que $OP$ faz com o eixo $u$, e obtemos do mesmo modo
$$\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}.$$Todas as propriedades decorrem das do seno: $|\operatorname{sen} x| \le 1$ dá $|\operatorname{cossec} x| \ge 1$; o sinal é o do seno (positivo no 1º e 2º quadrantes); onde o seno cresce mantendo o sinal (1º e 4º quadrantes), o inverso decresce, e onde o seno decresce (2º e 3º), o inverso cresce; e o período é o do seno, $2\pi$.
ResumoAs seis funções circulares
| função | domínio | imagem | período | positiva nos quadrantes |
|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen}$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 1º e 2º |
| $\cos$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 1º e 4º |
| $\operatorname{tg}$ | $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 1º e 3º |
| $\operatorname{cotg}$ | $x \ne k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 1º e 3º |
| $\sec$ | $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$ | $2\pi$ | 1º e 4º |
| $\operatorname{cossec}$ | $x \ne k\pi$ | $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$ | $2\pi$ | 1º e 2º |