ITA 2022 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova da 1ª fase e gabarito oficial. Arquivos na página de provas anteriores do ITA.

A 1ª fase do ITA 2022 teve 70 questões de múltipla escolha: 15 de Física, 15 de Português, 10 de Inglês, 15 de Matemática e 15 de Química. Este post traz as questões de matemática, numeradas de 41 a 55 como na prova.

Convenções da prova. $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$; $i$ é a unidade imaginária ($i^2 = -1$); $M_n(\mathbb{R})$ é o conjunto das matrizes $n \times n$ de entradas reais; $\overline{AB}$ é o segmento de extremidades $A$ e $B$, e $m(\overline{AB})$ é o seu comprimento; $A\hat{O}B$ é o ângulo de vértice $O$ formado pelas semirretas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$.

Gabarito

Questão 41: Uma soma de logaritmos em bases 120 e 14400

Enunciado

Se

podemos afirmar que

• A) $x = 2$.
• B) $x = 3$.
• C) $x = 4$.
• D) $x = 5$.
• E) $x = 6$.

Resolução

1. Uma base só. Repare que $14400 = 120^2$. Pela mudança de base,

Então $2\log_{14400} 125 = 3\log_{120} 5$.

2. Juntando os termos. Levando os coeficientes para os expoentes,

3. Reconhecendo um cubo. $2^9 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^3 = 120^3$. Logo

Resposta: alternativa B ($x = 3$).

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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Questão 42: Ponto equidistante de A e C

Enunciado

Considere um triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$, retângulo em $B$. Seja $r$ a reta determinada por $A$ e $C$ e seja $O$ um ponto equidistante de $A$ e $C$ no mesmo lado que $B$ com respeito a $r$. Sabendo que $m(\overline{AO}) = 85$, $m(\overline{AB}) = 10$ e $m(\overline{BC}) = 24$ temos que a distância de $O$ a $r$ é

• A) 64.
• B) 66.
• C) 74.
• D) 76.
• E) 84.

Resolução

1. A hipotenusa. No triângulo retângulo em $B$,

2. Onde está $O$. Os pontos equidistantes de $A$ e $C$ formam a mediatriz de $\overline{AC}$. Ela corta $r$ no ponto médio $M$ de $\overline{AC}$, perpendicularmente. Assim, a distância de $O$ a $r$ é $m(\overline{OM})$, e o triângulo $AMO$ é retângulo em $M$, com $m(\overline{AM}) = 13$.

3. Pitágoras de novo.

A informação “no mesmo lado que $B$” só escolhe um dos dois pontos simétricos; a distância é a mesma.

Resposta: alternativa E (84).

Para revisar, veja Teorema de Pitágoras.

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Questão 43: Quando dois sistemas são equivalentes?

Enunciado

Seja $m \in \mathbb{R}$. Considere os sistemas lineares

Assinale a alternativa correta:

• A) Não existe $m \in \mathbb{R}$ tal que $S_1$ é equivalente a $S_2$.
• B) Existe exatamente um $m > 0$ tal que $S_1$ é equivalente a $S_2$.
• C) Existe exatamente um $m < 0$ tal que $S_1$ é equivalente a $S_2$.
• D) Existem exatamente dois valores distintos de $m$ tais que $S_1$ é equivalente a $S_2$.
• E) Existem infinitos valores distintos para $m$ tais que $S_1$ é equivalente a $S_2$.

Resolução

Dois sistemas são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Vamos resolver cada um em função de $m$.

1. Resolvendo $S_1$. Da 1ª equação, $y = 4x - 2$. Substituindo na 3ª:

Na 2ª equação: $-16x + m^2(4x - 2) + 2 = -10$, ou seja,

• Se $m = \pm 2$, fica $0 \cdot x = -4$: $S_1$ é impossível.
• Se $m \ne \pm 2$, a solução é única: $x = \dfrac{m^2 - 6}{2(m^2 - 4)}$, $y = 4x - 2$, $z = 2$.

2. Resolvendo $S_2$. Da 2ª equação, $y = z - \frac{14}{5}$. Substituindo na 3ª:

e, da 1ª equação, $10x = m^2 + m - 1 - z = 3$, logo $x = \frac{3}{10}$. Então $S_2$ tem sempre solução única (seu determinante é $-700$, nunca zero).

3. Igualando as soluções. Como $S_2$ sempre tem exatamente uma solução, $S_1$ também precisa ter (logo $m \ne \pm 2$), e as soluções devem coincidir.

• $z$: $m^2 + m - 4 = 2 \Rightarrow m^2 + m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2$ ou $m = -3$. Descartamos $m = 2$.
• $x$ com $m = -3$: $\dfrac{9 - 6}{2(9 - 4)} = \dfrac{3}{10}$ ✔
• $y$: em $S_1$, $4 \cdot \frac{3}{10} - 2 = -\frac{4}{5}$; em $S_2$, $2 - \frac{14}{5} = -\frac{4}{5}$ ✔

Só $m = -3$ funciona: os dois sistemas têm a solução $\left(\frac{3}{10}, -\frac{4}{5}, 2\right)$.

Resposta: alternativa C (exatamente um $m < 0$, a saber $m = -3$).

Cuidado com a pegadinha: a equação em $z$ dá dois valores, $2$ e $-3$, o que leva à alternativa D. Mas com $m = 2$ o sistema $S_1$ não tem solução, enquanto $S_2$ tem.

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Questão 44: Soma, diferença, produto e quociente reais

Enunciado

Sejam $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ com $z_2 \ne 0$. Considere as afirmações:

• I. Se $z_1 + z_2 \in \mathbb{R}$ e $z_1 - z_2 \in \mathbb{R}$ então $z_1 \in \mathbb{R}$ e $z_2 \in \mathbb{R}$.
• II. Se $z_1 \cdot z_2 \in \mathbb{R}$ e $z_1/z_2 \in \mathbb{R}$ então $z_1 \in \mathbb{R}$ e $z_2 \in \mathbb{R}$.
• III. Se $z_1 + z_2 \in \mathbb{R}$ e $z_1 \cdot z_2 \in \mathbb{R}$ então $z_1 \in \mathbb{R}$ e $z_2 \in \mathbb{R}$.

É (são) sempre verdadeira(s):

• A) apenas I.
• B) I e II.
• C) apenas I e III.
• D) apenas II.
• E) apenas III.

Resolução

I. Verdadeira. Se $s = z_1 + z_2$ e $d = z_1 - z_2$ são reais, então

II. Falsa. Contraexemplo: $z_1 = z_2 = i$. Então $z_1 z_2 = -1$ e $z_1/z_2 = 1$ são reais, mas $i \notin \mathbb{R}$.

III. Falsa. Contraexemplo: $z_1 = i$, $z_2 = -i$. Então $z_1 + z_2 = 0$ e $z_1 z_2 = 1$ são reais. (Em geral, $z_1$ e $z_2$ são as raízes de $t^2 - st + p = 0$ com $s$, $p$ reais, e essas raízes podem ser complexas conjugadas.)

Resposta: alternativa A (apenas I).

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Questão 45: O quadrilátero das raízes

Enunciado

Considere o polinômio $p(z) = z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13$ e note que $p(i) = 0$. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de $p(z)$. Podemos afirmar que a área desse quadrilátero é

• A) 4.
• B) 6.
• C) 8.
• D) 9.
• E) 10.

Resolução

1. Mais uma raiz de graça. Os coeficientes são reais, então o conjugado $-i$ também é raiz. Logo $(z - i)(z + i) = z^2 + 1$ divide $p(z)$:

(confira multiplicando: $z^4 - 6z^3 + 13z^2 + z^2 - 6z + 13$.)

2. As outras raízes. $z^2 - 6z + 13 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = 3 \pm 2i$.

3. A figura. Os vértices são $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(3, 2)$ e $(3, -2)$. É um trapézio com bases verticais de comprimentos $2$ (em $x = 0$) e $4$ (em $x = 3$) e altura $3$:

Resposta: alternativa D (9).

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Questão 46: Três afirmações sobre matrizes

Enunciado

Seja $n \ge 2$ e $A, B \in M_n(\mathbb{R})$. Considere as seguintes afirmações:

• I. Se $AB \ne BA$ então ou $A$ ou $B$ não é inversível.
• II. Se $AB = 0$ então $BA = 0$.
• III. Se $A^T = -A^2$ e $A$ é inversível então $\det(A) = -1$.

É (são) verdadeira(s):

• A) apenas I.
• B) apenas II.
• C) apenas III.
• D) apenas I e III.
• E) Nenhuma das afirmações.

Resolução

I. Falsa. Duas matrizes inversíveis podem não comutar. Por exemplo,

e ambas têm determinante 1.

II. Falsa. Com

III. Falsa. Tomando determinantes em $A^T = -A^2$ (lembre que $\det(A^T) = \det A$ e $\det(-M) = (-1)^n \det M$):

(dividimos por $\det A \ne 0$). Para $n$ par, $\det A = 1$. E existe matriz assim: a rotação de $-60^\circ$,

satisfaz $A^T = R(60^\circ)$ e $-A^2 = -R(-120^\circ) = R(60^\circ)$, com $\det A = 1$.

Resposta: alternativa E (nenhuma das afirmações).

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Questão 47: Tangentes em progressão aritmética

Enunciado

Sejam $x, r \in \mathbb{R}$ e suponha que

Sobre $\tan(x - r)$, $\tan(x)$ e $\tan(x + r)$, nesta ordem, podemos afirmar que:

• A) Nunca determina uma progressão aritmética.
• B) Pode determinar uma progressão aritmética apenas se $r = 0$.
• C) Pode determinar uma progressão aritmética apenas se $r = 0$ ou se $r = \sqrt{3}/3$.
• D) Pode determinar uma progressão aritmética para infinitos valores distintos de $r$.
• E) Determina uma progressão aritmética para todo $x$ e $r$ como no enunciado.

Resolução

Três números estão em PA quando o do meio é a média dos outros dois: $\tan(x - r) + \tan(x + r) = 2\tan x$.

1. Somando as tangentes. Com $\tan a + \tan b = \dfrac{\operatorname{sen}(a + b)}{\cos a \cos b}$:

Como $\operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x$, isso equivale a

2. Os dois casos. Usando $\cos(x - r)\cos(x + r) = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 r$, o colchete vale $\operatorname{sen}^2 r$. Então a condição é

• Se $\operatorname{sen} x = 0$, isto é, $x = 0$ (o único valor possível no intervalo), qualquer $r$ com $0 \le r < \frac{\pi}{2}$ serve: os números $\tan(-r)$, $0$, $\tan r$ estão em PA.
• Se $x \ne 0$, é preciso $r = 0$ (PA constante).

Há, portanto, infinitos valores de $r$ que produzem PA (todos com $x = 0$). Mas não é sempre: com $x = \frac{\pi}{6}$ e $r = \frac{\pi}{6}$, por exemplo, temos $0, \frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}$, que não é PA.

Resposta: alternativa D.

Para revisar, veja Fórmulas de adição e subtração de arcos.

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Questão 48: Onde fica o centro da hipérbole?

Enunciado

Seja $b \in \mathbb{R}$ tal que a equação

determina uma hipérbole. Com respeito ao centro $C$ desta hipérbole podemos afirmar:

• A) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2/9 + y^2/12 < 1\}$.
• B) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2/4 + y^2/2 > 1\}$.
• C) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2/9 - y^2/2 < 1\}$.
• D) $C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x^2 - 2y^2 > 1\}$.
• E) Nenhuma das alternativas anteriores.

Resolução

1. Completando quadrados. $x^2 - 6bx = (x - 3b)^2 - 9b^2$ e $y^2 - 2by = (y - b)^2 - b^2$. Substituindo:

Os termos constantes somam $-9b^2 + b^2 - b^4 + b^4 + 8b^2 - 1 = -1$. Fica

2. Quando é hipérbole. É preciso que o coeficiente de $(y - b)^2$ seja positivo: $1 - b^2 > 0$, isto é, $-1 < b < 1$. O centro é $C = (3b, b)$.

3. Testando as alternativas com $x = 3b$, $y = b$ e $0 \le b^2 < 1$:

• A) $b^2 + \frac{b^2}{12} = \frac{13}{12}b^2 < 1$ falha para $b^2 \ge \frac{12}{13}$ (por exemplo, $b = 0{,}99$).
• B) $\frac{9b^2}{4} + \frac{b^2}{2} = \frac{11}{4}b^2 > 1$ falha para $b = 0$.
• C) $\frac{9b^2}{9} - \frac{b^2}{2} = \frac{b^2}{2} < \frac{1}{2} < 1$ ✔ sempre vale.
• D) $27b^2 - 2b^2 = 25b^2 > 1$ falha para $b = 0$.

Resposta: alternativa C.

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Questão 49: A pirâmide hexagonal dentro do cubo

Enunciado

Seja $P$ uma pirâmide regular cujo vértice $V$ é um dos vértices de um cubo de lado $l$ e cuja base é o hexágono formado pelos pontos médios das seis arestas do cubo que não contém $V$ nem o vértice oposto a $V$. O raio da esfera que circunscreve $P$ é

• A) $l\sqrt{2}/12$.
• B) $l\sqrt{3}/12$.
• C) $5l\sqrt{2}/12$.
• D) $5l\sqrt{3}/12$.
• E) $l\sqrt{3}/6$.

Resolução

1. Coordenadas. Ponha o cubo em $[0, l]^3$ com $V = (0, 0, 0)$; o vértice oposto é $(l, l, l)$. As seis arestas que não tocam nenhum dos dois têm pontos médios como $\left(l, \frac{l}{2}, 0\right)$, $\left(0, l, \frac{l}{2}\right)$ etc. Todos satisfazem $x + y + z = \frac{3l}{2}$: o hexágono é a seção do cubo pelo plano perpendicular à diagonal que passa pelo centro $O = \left(\frac{l}{2}, \frac{l}{2}, \frac{l}{2}\right)$.

2. Medidas da pirâmide.

• Lado do hexágono: distância entre pontos médios de arestas vizinhas, $\frac{l\sqrt{2}}{2}$. Num hexágono regular o raio é igual ao lado: $\rho = \frac{l\sqrt{2}}{2}$.
• Altura: $h = m(\overline{VO}) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$ (metade da diagonal do cubo).

3. A esfera. O centro da esfera circunscrita está no eixo $VO$, a uma distância $R$ de $V$. Ele também dista $R$ de um vértice do hexágono:

Note que $R \approx 0{,}72\,l < h \approx 0{,}87\,l$: o centro fica entre $V$ e a base, como esperado.

Resposta: alternativa D ($5l\sqrt{3}/12$).

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Questão 50: Retas, planos e pontos equidistantes

Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

• I. Se $\alpha$ e $\beta$ são planos paralelos distintos e $r$ é uma reta tal que $r \cap \alpha \ne \varnothing$ então $r \cap \beta \ne \varnothing$.
• II. Se $r$ é uma reta e $P$ e $Q$ são pontos distintos, então existem infinitos planos equidistantes de $P$ e $Q$ que contêm $r$.
• III. Dados quatro pontos no espaço, existe um único ponto equidistante a eles.

É (são) verdadeira(s):

• A) Nenhuma das afirmações.
• B) apenas I.
• C) apenas II.
• D) apenas III.
• E) I, II e III.

Resolução

I. Falsa. Se $r$ estiver contida em $\alpha$, então $r \cap \alpha \ne \varnothing$, mas $r$ é paralela a $\beta$ e não a encontra.

II. Falsa. Um plano é equidistante de $P$ e $Q$ quando é paralelo à reta $PQ$ ou passa pelo ponto médio $M$ de $\overline{PQ}$. Entre os planos que contêm $r$, em geral há no máximo um que passa por $M$ e no máximo um paralelo a $PQ$. Por exemplo, tome $r$ como o eixo $Oz$, $P = (1, 0, 0)$ e $Q = (0, 2, 0)$: o único plano pelo eixo $Oz$ que passa por $M = \left(\frac12, 1, 0\right)$ é $y = 2x$, e o único paralelo a $PQ$ é $y = -2x$. São só dois, não infinitos.

III. Falsa. Quatro pontos coplanares que não estão numa mesma circunferência não têm ponto equidistante (por exemplo, os vértices de um paralelogramo que não é retângulo). E se estiverem numa circunferência há infinitos (todos os pontos do eixo da circunferência).

Resposta: alternativa A (nenhuma das afirmações).

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Questão 51: Quando k + 1 ganha um algarismo binário

Enunciado

Dizemos que a representação binária de um número $N \in \mathbb{N}$ da forma

é $(abcdefg)_2$, onde $a, b, c, d, e, f, g \in \{0, 1\}$ e omitem-se os algarismos 0 até o primeiro algarismo 1 da esquerda para a direita. Seja $k$ um número inteiro tal que $1 \le k \le 100$. Qual a probabilidade de $k$ e $k + 1$ terem representações binárias com um número distinto de algarismos?

• A) 2%.
• B) 4%.
• C) 6%.
• D) 8%.
• E) 10%.

Resolução

1. Quando o número de algarismos muda. Um número com $n$ algarismos binários está entre $2^{n-1}$ e $2^n - 1$. Somar 1 só aumenta o número de algarismos quando $k = 2^n - 1$ (por exemplo, $111_2 + 1 = 1000_2$), ou seja, quando $k + 1$ é uma potência de 2.

2. Contando. Com $2 \le k + 1 \le 101$: $k + 1 \in \{2, 4, 8, 16, 32, 64\}$, seis casos ($k = 1, 3, 7, 15, 31, 63$).

Resposta: alternativa C (6%).

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Questão 52: Duas retas pelos vértices do cubo

Enunciado

Seja $A$ o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo $C$. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de $A$, a probabilidade dessas retas se interceptarem em um vértice de $C$ é:

• A) $4/9$.
• B) $1/2$.
• C) $2/3$.
• D) $1/14$.
• E) $3/7$.

Resolução

1. Quantas retas. Não há três vértices do cubo alinhados, então cada par de vértices dá uma reta diferente: $\binom{8}{2} = 28$ retas.

2. Casos possíveis. Pares de retas distintas: $\binom{28}{2} = 378$.

3. Casos favoráveis. Por cada vértice passam 7 retas (uma para cada um dos outros vértices), que formam $\binom{7}{2} = 21$ pares que se cortam naquele vértice. Duas retas distintas têm no máximo um ponto em comum, então nenhum par é contado duas vezes: $8 \cdot 21 = 168$.

Resposta: alternativa A ($4/9$).

Para revisar, veja Introdução à Probabilidade.

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Questão 53: Uma desigualdade de cossenos no triângulo

Enunciado

Sejam $\alpha$, $\beta$ e $\theta$ ângulos internos de um triângulo. Se $\cos(\beta + \theta) \le \cos(\alpha + 2\beta)$, podemos afirmar que:

• A) O triângulo não é isósceles.
• B) O triângulo não é retângulo.
• C) O triângulo não é acutângulo.
• D) O triângulo não é obtusângulo.
• E) Não se pode garantir nenhum dos itens anteriores.

Resolução

1. Reescrevendo com $\alpha + \beta + \theta = \pi$.

• $\beta + \theta = \pi - \alpha$, então $\cos(\beta + \theta) = -\cos\alpha$.
• $\alpha + 2\beta = \pi - (\theta - \beta)$, então $\cos(\alpha + 2\beta) = -\cos(\theta - \beta)$.

A hipótese vira

2. Comparando ângulos. Os ângulos $\alpha$ e $|\theta - \beta|$ estão em $[0, \pi)$, onde o cosseno é decrescente. Logo $\alpha \le |\theta - \beta|$.

3. Conclusão. Digamos $\theta \ge \beta$ (o outro caso é simétrico). Então $\alpha + \beta \le \theta$, e como $\alpha + \beta = \pi - \theta$,

O triângulo tem um ângulo reto ou obtuso, ou seja, não é acutângulo. As outras alternativas podem falhar: ângulos $\theta = 90^\circ$, $\alpha = \beta = 45^\circ$ satisfazem a hipótese (com igualdade) e dão um triângulo isósceles e retângulo; e $\theta = 120^\circ$, $\alpha = \beta = 30^\circ$ dá um obtusângulo.

Resposta: alternativa C.

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Questão 54: Uma equação em potências de cosseno

Enunciado

O número de soluções reais e distintas da equação

no intervalo $[0, 2\pi[$ é

• A) 2.
• B) 3.
• C) 4.
• D) 5.
• E) 6.

Resolução

1. Uma variável só. Seja $c = \cos^2 x \in [0, 1]$. Como $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2c - 1$:

2. Fatorando. $c = -1$ é raiz ($-1 + 4 - 1 - 2 = 0$), então

3. Só uma raiz serve. Com $\sqrt{17} \approx 4{,}12$: $c = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0{,}56$ está em $[0, 1]$; as outras ($-1$ e $\approx -3{,}56$) são negativas.

4. Contando os $x$. $\cos^2 x = 0{,}56$ dá $\cos x = \pm 0{,}75$ (aproximadamente), e cada valor de $\cos x$ estritamente entre $-1$ e $1$ corresponde a dois ângulos em $[0, 2\pi[$. Total: $2 \cdot 2 = 4$ soluções.

Resposta: alternativa C (4).

Para revisar, veja Intervalos e equações trigonométricas clássicas.

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Questão 55: Um triângulo inscrito com ângulo agudo em B

Enunciado

Seja $T$ um triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ com $m(\overline{AB}) = 2\sqrt{5}$ e $m(\overline{BC}) = 6$. Sabendo que $A\hat{B}C$ é agudo e $T$ é inscritível em uma circunferência de raio $R = 5$, podemos afirmar que:

• A) $m(\overline{AC}) = \sqrt{5}/5$.
• B) $m(\overline{AC}) = 2\sqrt{5}/5$.
• C) $m(\overline{AC}) = 4\sqrt{5}/5$.
• D) $m(\overline{AC}) = 8\sqrt{5}/5$.
• E) $m(\overline{AC}) = 14\sqrt{5}/5$.

Resolução

Chame de $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ os ângulos internos.

1. Lei dos senos. $\dfrac{a}{\operatorname{sen}\hat{A}} = 2R = 10$, com $a = m(\overline{BC})$ etc.:

2. Qual cosseno? Como $m(\overline{AB}) < m(\overline{BC})$, temos $\hat{C} < \hat{A}$, então $\hat{C}$ é agudo: $\cos\hat{C} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Já $\hat{A}$ pode ser agudo ($\cos\hat{A} = \frac{4}{5}$) ou obtuso ($\cos\hat{A} = -\frac{4}{5}$).

3. Usando que $\hat{B}$ é agudo. Como $\hat{B} = \pi - (\hat{A} + \hat{C})$, $\cos\hat{B} = \operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{C} - \cos\hat{A}\cos\hat{C}$.

• Se $\cos\hat{A} = \frac{4}{5}$: $\cos\hat{B} = \frac{3\sqrt{5}}{25} - \frac{8\sqrt{5}}{25} = -\frac{\sqrt{5}}{5} < 0$. $\hat{B}$ seria obtuso: descartado.
• Se $\cos\hat{A} = -\frac{4}{5}$: $\cos\hat{B} = \frac{3\sqrt{5}}{25} + \frac{8\sqrt{5}}{25} = \frac{11\sqrt{5}}{25} > 0$ ✔

4. O lado $AC$. $\operatorname{sen}\hat{B} = \operatorname{sen}(\hat{A} + \hat{C}) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$, e

Conferindo pela lei dos cossenos: $b^2 = 20 + 36 - 2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 6 \cdot \frac{11\sqrt{5}}{25} = 56 - \frac{1320}{25} = \frac{16}{5}$, e $\sqrt{16/5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$ ✔

Resposta: alternativa C ($4\sqrt{5}/5$).

Cuidado com a pegadinha: escolhendo $\hat{A}$ agudo, sai $m(\overline{AC}) = 4\sqrt{5}$, que nem aparece nas alternativas, mas nesse caso o ângulo $\hat{B}$ seria obtuso.

Para revisar, veja Resolução de triângulos e o caso ambíguo.

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