Em todo equilíbrio de forças quaisquer, de qualquer maneira que estejam aplicadas, a soma das energias positivas será igual à soma das energias negativas.

— Johann Bernoulli, carta a Pierre Varignon (26 de janeiro de 1717)

Desde Arquimedes, cada máquina simples tinha a sua própria explicação. A alavanca obedecia à lei dos braços; o plano inclinado, a uma decomposição de forças inventada por Stevin; a roldana, a um raciocínio sobre as cordas; o parafuso, a outro. Em 1717, numa carta ao amigo francês Pierre Varignon, Johann Bernoulli mostrou que todas essas leis são casos de um único princípio.

A ideia: mexer só um pouquinho

Imagine uma máquina parada em equilíbrio. Agora imagine que você a desloca, só em pensamento, por uma distância minúscula, respeitando os seus vínculos: a alavanca gira em torno do apoio, a corda não estica, o bloco não sai da rampa. Esse deslocamento imaginário se chama virtual, porque não acontece de verdade.

Em cada ponto onde atua uma força $F_i$, o ponto se desloca um pouquinho $\delta s_i$ na direção da força. O produto $F_i\,\delta s_i$ é o trabalho virtual dessa força. Johann o chamava de energia, e é a primeira vez que essa palavra aparece com um sentido parecido com o de hoje. O princípio diz:

$$\boxed{\ \text{em equilíbrio,}\quad\sum_i F_i\,\delta s_i=0\ \text{ para todo deslocamento virtual.}\ }$$

O trabalho das forças que ajudam o movimento é igual ao das que se opõem a ele. Nenhuma máquina parada pode criar trabalho do nada.

A alavanca de Arquimedes

Uma alavanca tem pesos $P_1$ e $P_2$ a distâncias $a$ e $b$ do apoio. Gire a alavanca de um ângulo minúsculo $\delta\theta$. O lado de $P_1$ desce $a\,\delta\theta$ e o lado de $P_2$ sobe $b\,\delta\theta$. O peso que desce faz trabalho positivo; o que sobe, negativo:

$$P_1\,a\,\delta\theta-P_2\,b\,\delta\theta=0\quad\Longrightarrow\quad P_1\,a=P_2\,b.$$

É a lei de Arquimedes, sem nenhuma figura de triângulos semelhantes: o $\delta\theta$ simplesmente se cancela.

A roldana

Num sistema de roldanas, um peso $W$ é sustentado por $n$ trechos de corda, e uma pessoa puxa a ponta livre com força $F$. Se o peso sobe $\delta h$, cada um dos $n$ trechos encurta $\delta h$, e toda essa corda sai pela ponta livre, que anda $n\,\delta h$. Então

$$F\cdot n\,\delta h-W\,\delta h=0\quad\Longrightarrow\quad F=\frac Wn.$$

Com quatro trechos de corda, levanta-se 100 kg fazendo a força de 25 kg. Mas paga-se em distância: para o peso subir 1 metro, é preciso puxar 4 metros de corda.

O plano inclinado

Um bloco de peso $W$ está numa rampa de inclinação $\alpha$, seguro por uma força $F$ paralela à rampa. Empurre o bloco rampa acima por uma distância $\delta d$. Ele sobe na vertical $\delta d\operatorname{sen}\alpha$:

$$F\,\delta d-W\,\delta d\operatorname{sen}\alpha=0\quad\Longrightarrow\quad F=W\operatorname{sen}\alpha.$$

Numa rampa de 30°, basta metade do peso para segurar o bloco. Stevin tinha chegado ao mesmo resultado em 1586 com um raciocínio engenhoso sobre um colar de contas pendurado em dois planos inclinados. Johann chegou lá em uma linha.

Exercício: um macaco de carro de rosca tem passo de 5 mm (a cada volta, sobe 5 mm) e manivela de 25 cm. Que força na manivela levanta 1 000 kg?

Numa volta completa, a mão percorre $2\pi\cdot0{,}25\approx1{,}571$ m e o carro sobe $0{,}005$ m. Pelo princípio,

$$F\cdot1{,}571=1\,000\cdot0{,}005\quad\Longrightarrow\quad F\approx3{,}2\ \text{kgf}.$$

Uma força de pouco mais de 3 kg levanta uma tonelada. Na prática, o atrito na rosca exige bem mais, mas a ordem de grandeza explica por que o macaco funciona.

Exercício: um sarilho de poço tem eixo de raio 10 cm e manivela de raio 40 cm. Qual força sustenta um balde de 20 kg?

Gire a manivela de um ângulo $\delta\theta$. A mão anda $0{,}40\,\delta\theta$ e o balde sobe $0{,}10\,\delta\theta$. Então $F\cdot0{,}40=20\cdot0{,}10$, e $F=5$ kgf. É uma alavanca disfarçada: a razão entre os raios, 4, é a vantagem mecânica.

Fontes: Pierre Varignon, Nouvelle mécanique ou statique (Paris, 1725), tomo II, onde está a carta de Johann · René Dugas, A History of Mechanics (Dover, 1988), cap. 2 · biografia de Johann Bernoulli, MacTutor.

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