Conferir a descoberta

Ficam 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Até 20, os compostos já foram eliminados nessas duas etapas. O 1 não entra: ele tem somente um divisor positivo.

Neste post vamos falar sobre os números primos. Para isso, vamos usar o conceito de múltiplos de um número natural ou números compostos. Os gregos estudaram antes de Cristo a teoria de números primos através do Crivo de Eratóstenes.

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Laboratório dos retângulos

Escolha 12 objetos e experimente 1, 2, 3, 4, 5 e 6 fileiras. Quais escolhas deixam as fileiras com a mesma quantidade? Depois investigue 13: o que muda?

Mude os objetos e as fileiras. Um divisor permite formar fileiras iguais sem resto.
Conferir a investigação

Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Já 13 tem somente 1 e 13 como divisores positivos: é primo. O controle vai até 12 fileiras; desenhe as 13 fileiras com um objeto cada para completar a investigação.

Propriedade dos divisores dos números naturais

Em resumo dos posts anteriores vimos que os números naturais são dadas por:

$$\mathbb{N} = \{0,1,2,3, \dots\}$$

Ao calcularmos a divisão dos números naturais, podem ocorrer deste resultado ser exato. Desta forma, encontramos um divisor deste número natural. Para iniciarmos as propriedades dos divisores definimos:

Definição: O conjunto dos divisores do número natual $n$ é dado por:

$$\mathcal{D}(n)$$

Divisores de um número natural

Doze pontos em retângulos de 1 por 12, 2 por 6 e 3 por 4.
Quais números dividem 12? Cada retângulo revela um par de divisores.

Com a definição em mãos, podemos construir o conjunto dos divisores do número natural $n$:

Número natural $(n)$ $\mathcal{D}(n)$ Divisores
0 $\mathcal{D}(0)$ $ \\{ 1,2, 3, 4, \dots \\} $
1 $\mathcal{D}(1)$ $ \\{ 1 \\} $
2 $\mathcal{D}(2)$ $ \\{ 1,2 \\} $
3 $\mathcal{D}(3)$ $ \\{ 1,3 \\} $
4 $\mathcal{D}(4)$ $ \\{ 1,2,4 \\} $
5 $\mathcal{D}(5)$ $ \\{ 1,5 \\} $
6 $\mathcal{D}(6)$ $ \\{ 1,2,3,6 \\} $
7 $\mathcal{D}(7)$ $ \\{ 1,7 \\} $
8 $\mathcal{D}(8)$ $ \\{ 1,2,4,8 \\} $
9 $\mathcal{D}(9)$ $ \\{ 1,3,9 \\} $
10 $\mathcal{D}(10)$ $ \\{ 1,2,5,10 \\} $
11 $\mathcal{D}(11)$ $ \\{ 1,11 \\} $

Propriedades

Os divisores apresentam algumas propriedades. A seguir apresentamos algumas delas:

  1. Os números 1 e $n$ sempre pertencem ao conjunto dos divisores do número natural $n$. Vale lembrar que n diferente de zero.
$$1, ~n \in \mathcal{D}(n) \quad n\neq 0$$

De fato, para todo número natural $n>0$ temos que:

$$n = 1~.~n$$

Portanto, o número 1 é um divisor do número natural $n$, o mesmo vale para $n$.

Da tabela que construímos, notamos que essa propriedade vale.

  1. Se $n>0$ e $m$ pertence aos divisores de $n$, isto é, $m\in\mathcal{D}(n).$ Então $m$ é menor ou igual a $n,$ ou seja, $m\leq n$.

Definição de número primo

Desta forma, conseguimos definir os números primos.

Definição: Se $p$ é primo, então o conjunto de divisores dos números primos são $1$ e $p,$ mais especificamente

$$\mathcal{D}(p) = \\{1,p\\}$$

Assim, os números primos da tabela acima é:

Número natural $(n)$ $\mathcal{D}(n)$ Divisores
2 $\mathcal{D}(2)$ $ \\{ 1,2 \\} $
3 $\mathcal{D}(3)$ $ \\{ 1,3 \\} $
5 $\mathcal{D}(5)$ $ \\{ 1,5 \\} $
7 $\mathcal{D}(7)$ $ \\{ 1,7 \\} $
11 $\mathcal{D}(11)$ $ \\{ 1,11 \\} $

Se um número $b$ diferente de zero $(b\neq 0)$ é divisor de um número natual $a,$ então exite um número natural $q$ tal que $a=bq.$ Construímos isso da seguinte forma:

$$ \begin{aligned} a & |\underline{}\underline{b}\underline{}\\ 0 & \quad q\\ \end{aligned} $$

Note que:

  • se o resto $r$ é zero, então $b$ é divisor de $a$ ou $a = bq$.
  • se o resto $r$ não é zero, então $b$ não é divisor de $a$ ou $a = bq + r$.

No post de números pares e ímpares vimos que eles podem ser escritos da forma:

  • par $n = 2 q$
  • ímpar $n = 2 q + 1$

Em particular,

  • todo número natural $n$ par é múltiplo de 2.
  • o único primo par é o 2.

Com isso, um número múltiplo é construído a partir de um número primo:

$$n = p q$$

em que

  • $p$ é um número primo.
  • $n$ é um número natural qualquer.
  • $q$ é um múltiplo do número primo $p$.

Números Compostos

Árvore de fatores primos de 36.
Siga os galhos até os primos. Por que 36 é composto?

Logo, podemos definir os números compostos:

Definição: Se $p$ é primo e um número $a$ pode ser construído por um múltiplo de um primo. Então este número é composto.

Número primo $(p)$ Número composto $(a=pq)$ Conjunto dos números compostos $(n)$
2 $a = 2 q$ $ \\{ 2, 4, 6, 8, \dots \\} $
3 $a = 3 q$ $ \\{ 3, 6, 9, 12, \dots \\} $
5 $a = 5 q$ $ \\{ 5, 10, 15, 20, \dots \\} $
7 $a = 7 q$ $ \\{ 5, 10, 15, 20, \dots \\} $
11 $a = 11 q$ $ \\{ 11, 22, 33, 44, \dots \\} $

Crivo de Eratóstenes

Tabela dos números de 1 a 30 com primos destacados.
Encontre os primos. Observe que 1 não é primo nem composto.
C R I V O
$2$ $3$ $4$ $5$
$6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$11$ $12$ $13$ $14$ $15$
$16$ $17$ $18$ $19$ $20$
$21$ $22$ $23$ $24$ $25$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. O primeiro primo é o 2, pois não existe número maior que 1 e menor que ele que seja seu divisor. Então, vamos crivar os múltiplos de 2.
C R I V O
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel 6$ $7$ $\cancel 8$ $9$ $\cancel{10}$
$11$ $\cancel{12}$ $13$ $\cancel{14}$ $15$
$\cancel{16}$ $17$ $\cancel 18$ $19$ $\cancel 20$
$21$ $\cancel{ 22}$ $23$ $\cancel{ 24}$ $25$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. O segundo primo é o 3, pois não existe número maior que 1 e menor que ele que seja seu divisor. Então, vamos crivar os múltiplos de 3.
C R I V O
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel{\cancel{ 6}}$ $7$ $\cancel 8$ $\cancel{9}$ $\cancel{10}$
$11$ $\cancel{\cancel 12}$ $13$ $\cancel{14}$ $\cancel{\cancel 15}$
$\cancel{16}$ $17$ $\cancel{\cancel 18}$ $19$ $\cancel 20$
$\cancel{21}$ $\cancel{ 22}$ $23$ $\cancel{\cancel 24}$ $25$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. O terceiro primo é o 5, pois não existe número maior que 1 e menor que ele que seja seu divisor. Então, vamos crivar os múltiplos de 5.
C R I V O
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel{\cancel{ 6}}$ $7$ $\cancel{ 8}$ $\cancel{9}$ $\cancel{\cancel 10}$
$11$ $\cancel{\cancel 12}$ $13$ $\cancel{14}$ $\cancel{\cancel 1 \cancel 5}$
$\cancel{16}$ $17$ $\cancel{\cancel 18}$ $19$ $\cancel{\cancel 20}$
$\cancel{21}$ $\cancel{ 22}$ $23$ $\cancel{\cancel 24}$ $\cancel{25}$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. O quarto primo é o 7, pois não existe número maior que 1 e menor que ele que seja seu divisor. O crivo do 7 vai ficar como exercício.

Portanto, o resultado são os números primos. Desta forma obtemos a tabela:

C R I V O
$2$ $3$ $5$
$7$
$11$ $13$
$17$ $19$
$23$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$

Estes são alguns pontos sobre a teoria dos números primos. No livro de matemática pura (universitários) vamos falar mais detalhes.

O crivo de Eratóstenes: risque os múltiplos de cada primo. Os números que sobram são os primos.