Euler's Eyes
2026-10-12
Relações métricas e teorema dos cossenos
O teorema de Pitágoras tem um termo de correção quando o ângulo não é reto. Esse termo é a lei dos cossenos.
Quem descobriu
As relações métricas deste tópico estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), em linguagem de áreas: a proposição II.12 trata do lado oposto a um ângulo obtuso e a II.13, do lado oposto a um ângulo agudo. A forma com o cosseno, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, apareceu muito depois, junto com as tabelas trigonométricas. O astrônomo persa Jamshid al-Kashi a apresentou em 1427, em A chave da aritmética; na França, a lei dos cossenos ainda se chama théorème d’Al-Kashi. François Viète a escreveu com cossenos em 1593.
A história
Euclides não tinha cossenos nem números para os comprimentos. Ele dizia que o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo obtuso é maior que a soma dos quadrados sobre os outros dois lados “pelo dobro do retângulo” formado por um lado e a projeção do outro. É a mesma relação deste tópico, escrita com áreas.
Da comparação de $a^2$ com $b^2 + c^2$ sai um teste simples: basta conhecer os três lados para saber se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
No dia a dia
- Navegação. Um barco que anda 10 km, vira 40° e anda mais 6 km fica a uma distância do porto calculada pela lei dos cossenos.
- Robótica. Os ângulos das articulações de um braço robótico de dois segmentos são calculados pela lei dos cossenos.
- Topografia. Quando se medem dois lados de um terreno e o ângulo entre eles, o terceiro lado sai da lei dos cossenos.
- Esportes. Analistas calculam a distância de um passe a partir das distâncias de dois jogadores até um terceiro e do ângulo entre elas.
Fontes: Elementos, proposição II.12 · Elementos, proposição II.13 · Al-Kashi (MacTutor).
Teoria e construções
Relações métricas
TeoremaLado oposto a um ângulo agudo
Num triângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele:
$$\hat A < 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 - 2cm.$$TeoremaLado oposto a um ângulo obtuso
Num triângulo obtusângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados mais duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele (ou sobre a reta que o contém):
$$\hat A > 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 + 2cm.$$Ver a demonstração (conjunta para os dois casos)
Conduzindo $\overline{CD} = h_c$, altura relativa ao lado $c$, vem:
- no $\triangle CDB$: $a^2 = h_c^2 + (c \mp m)^2$, com sinal $-$ se $\hat A$ é agudo e $+$ se $\hat A$ é obtuso;
- no $\triangle CDA$: $h_c^2 = b^2 - m^2$.
Substituindo: $a^2 = b^2 - m^2 + c^2 \mp 2cm + m^2$, isto é,
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2cm \quad (1) \qquad \text{ou} \qquad a^2 = b^2 + c^2 + 2cm \quad (2).$$Teorema dos cossenos
TeoremaTeorema dos cossenos (lei dos cossenos)
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B, \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.$$Ver a demonstração
Se $\hat A$ é agudo: no $\triangle CDA$, $\cos A = \dfrac{m}{b}$, logo $m = b\cos A$. Substituindo em (1): $a^2 = b^2 + c^2 - 2c\,(b\cos A)$.
Se $\hat A$ é obtuso: no $\triangle CDA$, $\cos(180^{\circ} - A) = \dfrac{m}{b}$, isto é, $-\cos A = \dfrac{m}{b}$ e $m = -b\cos A$. Substituindo em (2): $a^2 = b^2 + c^2 + 2c\,(-b\cos A)$.
Nos dois casos, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Se $\hat A$ é reto, $\cos A = 0$ e recaímos no teorema de Pitágoras.
Reconhecimento da natureza de um triângulo
Conhecendo as medidas dos lados de um triângulo, chamando a maior delas de $a$ e as outras duas de $b$ e $c$ — e lembrando que $|b - c| < a < b + c$ —, reconhecemos a natureza do triângulo:
ResumoNatureza de um triângulo
| $a^2 < b^2 + c^2$ | triângulo acutângulo |
| $a^2 = b^2 + c^2$ | triângulo retângulo |
| $a^2 > b^2 + c^2$ | triângulo obtusângulo |
As demonstrações decorrem imediatamente das relações anteriores.