Por quase dois mil anos, a geometria e a álgebra viveram separadas. A geometria dos gregos trabalhava com régua, compasso e figuras. A álgebra, que chegou à Europa pelos árabes, trabalhava com equações. No começo do século XVII, duas pessoas tiveram, ao mesmo tempo e sem combinar, a ideia de juntá-las: René Descartes e Pierre de Fermat.

Uma frase que criou um campo

Por volta de 1636, Fermat escreveu um pequeno texto em latim, Introdução aos lugares planos e sólidos. “Lugar” era o nome que os gregos davam a um conjunto de pontos que satisfazem uma condição, como o círculo, que é o lugar dos pontos a uma distância fixa do centro. Logo no começo, Fermat escreveu:

Sempre que, numa equação final, aparecem duas quantidades desconhecidas, temos um lugar, e a extremidade de uma delas descreve uma linha, reta ou curva.

— Fermat, Introdução aos lugares planos e sólidos

Em outras palavras: uma equação com duas incógnitas é uma curva. Cada solução $(x,y)$ é um ponto, e todas as soluções juntas formam um desenho.

A reta

Fermat escrevia ao estilo de Viète, com vogais para as incógnitas e consoantes para os números conhecidos. A reta aparecia como “D in A aequetur B in E”, que em notação de hoje é

$$D\cdot x=B\cdot y.$$

Isolando $y$: $y=\dfrac DB\,x$. É uma reta que passa pela origem, com inclinação $\dfrac DB$. Fermat mostrou que toda equação do primeiro grau em $x$ e $y$ descreve uma reta, e que toda equação do segundo grau descreve uma cônica: parábola, elipse, hipérbole ou círculo.

A parábola

Considere os pontos cujas coordenadas satisfazem

$$y=x^2.$$

Para $x=-2$, temos $y=4$; para $x=0$, $y=0$; para $x=2$, $y=4$. Marcando muitos pontos, aparece uma parábola. A equação faz muito mais que gerar uma tabela: ela diz, sem desenhar nada, se um ponto pertence à curva. O ponto $(3,9)$ pertence, porque $9=3^2$. O ponto $(2,5)$ não, porque $5\neq2^2$.

Onde duas curvas se encontram

A grande vantagem aparece quando queremos saber onde duas figuras se cruzam. Com régua e compasso, isso pode ser muito difícil. Com equações, basta exigir que o ponto satisfaça as duas ao mesmo tempo.

Onde a parábola $y=x^2$ cruza a reta $y=2x+3$? Igualando:

$$x^2=2x+3\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-3)(x+1)=0.$$

As soluções são $x=3$ e $x=-1$, e os pontos de encontro são $(3,9)$ e $(-1,1)$. Uma pergunta de geometria virou uma equação do segundo grau.

O que mudou

Com a geometria analítica, qualquer curva podia ser estudada com álgebra, e qualquer equação podia ser vista como um desenho. Foi o primeiro passo para o cálculo: para falar da tangente a uma curva ou da área sob ela, primeiro era preciso ter a curva escrita como equação. Fermat deu o passo seguinte logo depois, com seu método de máximos e mínimos.

Compare com a trilha de Descartes, que conta a outra metade dessa história.

Exercício: onde a parábola y = x² encontra a reta y = 4?

$x^2=4$ dá $x=2$ ou $x=-2$. Os pontos são $(2,4)$ e $(-2,4)$.

Exercício: a reta y = 2x − 1 toca a parábola y = x² em quantos pontos?

$x^2=2x-1$ dá $x^2-2x+1=(x-1)^2=0$. Só há uma solução, $x=1$: a reta toca a parábola em um único ponto, $(1,1)$. É a tangente à parábola nesse ponto.

Fontes: biografia de Fermat, MacTutor.

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