O segundo livro das Instituzioni analitiche é dedicado ao cálculo diferencial, e uma das suas aplicações principais é a que todo estudante aprende: encontrar máximos e mínimos. Agnesi ensina o método com dezenas de exemplos, de curvas e de problemas geométricos, sempre na mesma sequência: escrever a quantidade, diferenciar, igualar a diferencial a zero e conferir.

O ponto mais alto

Num ponto de máximo ou de mínimo, a curva fica por um instante horizontal: a reta tangente tem inclinação zero. Como a inclinação da tangente é a derivada, os candidatos a máximo e mínimo são os pontos em que $y' = 0$.

Na curva de Agnesi com $a = 1$, $y = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$. Pela regra da cadeia,

$$y' = -(1 + x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}.$$

A derivada só se anula em $x = 0$. Para $x < 0$ ela é positiva (a curva sobe) e para $x > 0 $ é negativa (a curva desce). Então $x = 0$ é o máximo, com $y = 1$.

Onde a curva muda de dobra

Perto do topo, a versiera é curvada para baixo, como uma tampa. Longe do topo, onde se aproxima do eixo, é curvada para cima, como uma tigela. O ponto em que a curvatura troca de sentido se chama ponto de inflexão. Agnesi, como os matemáticos da época, os encontrava pela segunda diferencial: a curvatura troca de sentido onde $y''$ troca de sinal.

Derivando $y'$ pela regra do quociente:

$$\begin{aligned} y'' &= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 2x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} \\ &= \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}. \end{aligned}$$

O denominador é sempre positivo, então o sinal é o de $6x^2 - 2$, que se anula em

$$x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0{,}577, \qquad y = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$$

Entre os dois pontos, $y'' < 0$ e a curva é côncava para baixo; fora deles, $y'' > 0$ e ela é côncava para cima. Com um diâmetro $a$ qualquer, os pontos de inflexão ficam em $x = \pm\frac{a}{\sqrt{3}}$, sempre a três quartos da altura máxima.

Mova o ponto e observe a tangente:

Repare que os pontos de inflexão são exatamente onde a tangente é mais inclinada. Não é coincidência: a inclinação $y'$ tem ali o seu máximo (ou mínimo), porque a derivada de $y'$, que é $y''$, se anula.

Exercício: o retângulo de área máxima

Um retângulo tem os dois vértices de baixo no eixo $x$ e os dois de cima sobre a curva $y = \frac{1}{1 + x^2}$, simétrico em relação ao eixo $y$. Qual é a maior área possível?

Se os vértices de cima são $(\pm x, y)$, a área é $A(x) = 2x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2x}{1 + x^2}$. Derivando: $A'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$, que se anula em $x = 1$. A área máxima é $A(1) = \frac{2}{2} = 1$: o retângulo de base 2 e altura $\frac{1}{2}$.

Exercício: a tangente mais inclinada

Qual é a inclinação da curva $y = \frac{1}{1 + x^2}$ no ponto de inflexão $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$?

$y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = -\frac{2/\sqrt{3}}{(4/3)^2} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{9}{16} = -\frac{9}{8\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{8} \approx -0{,}650$. Nenhuma outra tangente da curva é tão inclinada.

Fontes: Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, vol. II (1749), livro II · John Colson (trad.), Analytical Institutions, ed. John Hellins (1801) · Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (1981).

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