Euler's Eyes
2026-10-11
Posições relativas de duas circunferências
Duas circunferências podem ser secantes, tangentes, uma dentro da outra ou afastadas. A distância entre os centros decide qual é o caso.
Quem descobriu
Os casos básicos estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): duas circunferências distintas se cortam em no máximo dois pontos (proposição III.10), e, quando se tocam, o ponto de contato está na reta que une os centros (III.11 e III.12). Um século depois, Apolônio de Perga propôs o problema mais famoso sobre o tema: dadas três circunferências, traçar uma quarta tangente a todas elas.
A história
O livro de Apolônio sobre tangências se perdeu. Em 1600, o francês François Viète reconstruiu uma solução com régua e compasso, e o problema passou a ser estudado por Newton, Euler e Gauss. Em geral há oito soluções.
O problema de Apolônio voltou à cena no século XX: encontrar um ponto a partir das distâncias até três estações conhecidas está ligado a ele, e técnicas de localização por rádio usam esse raciocínio.
No dia a dia
- Engrenagens e polias. Rodas dentadas que se encaixam são modeladas por circunferências tangentes; a distância entre os eixos é a soma dos raios.
- Anéis olímpicos e diagramas de Venn. Circunferências secantes representam conjuntos com elementos em comum.
- Ondas na água. Duas pedras jogadas num lago produzem ondas circulares que se cruzam em dois pontos.
- Localização de celulares. Sabendo a distância a duas antenas, o aparelho está num dos dois pontos onde as circunferências se cortam; uma terceira antena desfaz a dúvida.
Fontes: Elementos, proposição III.10 · Apolônio (MacTutor) · Viète (MacTutor).
Teoria e construções
ResumoDuas circunferências
Sendo $\lambda_1(O_1, r_1)$ e $\lambda_2(O_2, r_2)$, com $r_1 > r_2$, e $d$ a distância entre os centros:
| condição | posição |
|---|---|
| $d < r_1 - r_2$ | $\lambda_2$ interna a $\lambda_1$ (se $d = 0$, concêntricas) |
| $d = r_1 - r_2$ | tangentes internas |
| $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ | secantes (dois pontos comuns) |
| $d = r_1 + r_2$ | tangentes externas |
| $d > r_1 + r_2$ | externas |