Reconheço dever muito às luzes dos senhores Bernoulli, sobretudo às do mais jovem, hoje professor em Groningen. Servi-me sem cerimônia das suas descobertas e das do senhor Leibniz.

— Marquês de l'Hôpital, prefácio da Análise dos infinitamente pequenos (1696)

Em 1691, o marquês Guillaume de l’Hôpital tinha 30 anos, um título, um castelo, e uma paixão: entender o cálculo de Leibniz, que mal tinha sido publicado e que quase ninguém na França conseguia ler. Quando o jovem suíço Johann Bernoulli, que sabia o cálculo melhor do que quase todo mundo, apareceu em Paris, o marquês o contratou como professor particular.

As aulas continuaram por carta depois que Johann voltou à Suíça. Em 17 de março de 1694, l’Hôpital lhe escreveu uma proposta incomum: uma pensão de 300 libras por ano, com a condição de que Johann respondesse às suas perguntas, lhe mandasse as suas descobertas e não as comunicasse a mais ninguém. Johann, recém-casado e sem cargo, aceitou.

Folha de rosto da Análise dos infinitamente pequenos para o entendimento das linhas curvas (Paris, 1696), o primeiro livro de cálculo diferencial.
Folha de rosto da Análise dos infinitamente pequenos para o entendimento das linhas curvas (Paris, 1696), o primeiro livro de cálculo diferencial.Wikimedia Commons · domínio público

Dois anos depois, saiu em Paris a Análise dos infinitamente pequenos para o entendimento das linhas curvas, sem nome de autor na capa, mas que todos sabiam ser de l’Hôpital. Era o primeiro livro de cálculo diferencial da história, claro e bem organizado, e foi usado para ensinar o cálculo na Europa durante quase um século. No capítulo 9 estava uma regra para calcular limites do tipo $\frac00$.

O problema: zero dividido por zero

Muitas vezes queremos saber para onde vai uma fração $\frac{f(x)}{g(x)}$ quando $x$ se aproxima de um ponto $a$ em que numerador e denominador vão a zero. Por exemplo,

$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}.$$

Substituir $x=0$ dá $\frac00$, que não quer dizer nada. A fração pode tender a qualquer valor, ou a nenhum. É preciso comparar a velocidade com que as duas funções vão a zero.

A ideia de Johann

Perto de $a$, uma função derivável se parece com a sua reta tangente:

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g(a)+g'(a)(x-a).$$

Se $f(a)=g(a)=0$, sobra

$$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$$

O fator $(x-a)$, que causava o $\frac00$, se cancela. A regra diz que, se $f(a)=g(a)=0$ e o limite da direita existe,

$$\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}$$

Para o seno: $\lim\frac{\operatorname{sen}x}{x}=\lim\frac{\cos x}{1}=1$. Se o novo quociente também der $\frac00$, aplica-se a regra de novo:

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.$$

A demonstração rigorosa usa o teorema do valor médio de Cauchy, do século XIX. Johann raciocinava com infinitésimos: $f$ e $g$ “quase nulos” perto de $a$ são, cada um, um infinitésimo, e a razão entre dois infinitésimos é a razão entre as suas diferenciais, $\frac{df}{dg}$.

O exemplo de 1696

O livro de l’Hôpital ilustra a regra com um exemplo que dá trabalho: para $a>0$, calcular o limite quando $x\to a$ de

$$\frac{\sqrt{2a^3x-x^4}-a\sqrt[3]{a^2x}}{a-\sqrt[4]{ax^3}}.$$

Em $x=a$, o numerador é $\sqrt{a^4}-a\cdot a=0$ e o denominador é $a-a=0$. Derivando o numerador,

$$\frac{2a^3-4x^3}{2\sqrt{2a^3x-x^4}}-\frac{a\cdot a^{2/3}}{3x^{2/3}}\ \xrightarrow{x=a}\ \frac{-2a^3}{2a^2}-\frac a3=-\frac{4a}3.$$

Derivando o denominador,

$$-\frac34\,a^{1/4}x^{-1/4}\ \xrightarrow{x=a}\ -\frac34.$$

O limite é $\dfrac{-4a/3}{-3/4}=\dfrac{16a}9$. Com $a=1$ e $x=0{,}999$, a fração original dá $1{,}773$, já perto de $\frac{16}9\approx1{,}778$.

Quem inventou a regra?

L’Hôpital morreu em 1704. Pouco depois, Johann passou a dizer em público que a regra, e boa parte do livro, eram dele. Quase ninguém acreditou: parecia a reclamação de um homem conhecido pelo gênio difícil, contra um nobre morto que não podia se defender.

Em 1921 foi encontrado na Biblioteca da Universidade de Basileia, e publicado no ano seguinte, um manuscrito das lições de cálculo diferencial que Johann tinha preparado em 1691 e 1692. A comparação mostrou que grande parte da Análise segue essas lições de perto, inclusive a regra. Mas a história é menos simples do que um roubo: l’Hôpital pagou pelo material, reconheceu a dívida no prefácio, como mostra a citação acima, e escreveu um livro mais claro do que as lições. A regra continua com o nome dele.

Exercício: calcule o limite de ln(1 + x)/x quando x tende a zero.

Em $x=0$, numerador e denominador valem zero. O quociente das derivadas é $\frac{1/(1+x)}{1}$, que tende a $1$. Esse limite diz que, perto de zero, $\ln(1+x)\approx x$, a aproximação que os bancos usam para converter taxas de juros pequenas.

Exercício: o que dá aplicar a regra a (1 + x)/x quando x tende a zero?

Uma conclusão errada. Aqui o numerador vai a $1$, não a zero: não há indeterminação, e a regra não se aplica. O quociente das derivadas seria $\frac11=1$, mas a fração de verdade vai a $+\infty$ pela direita e a $-\infty$ pela esquerda. Antes de usar a regra, é preciso conferir que é mesmo $\frac00$ ou $\frac\infty\infty$.

Fontes: Guillaume de l’Hôpital, Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Paris, 1696), seção IX · Dirk J. Struik, “The origin of l’Hôpital’s rule”, The Mathematics Teacher 56 (1963) · biografia de Johann Bernoulli, MacTutor.

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