Números com uso de Geometria

Figuras triangulares com 1, 3, 6 e 10 pontos.
A próxima fileira terá 5 pontos. Quantos pontos terá o próximo triângulo?

Em Elementos mostra números osb perspectiva geométrica. Em posts anteriores, vimos o produto de um número natural por outro como área de retângulo ou quadrado.

Propriedade Distributiva
Escrita Ocidental. Escrita Oriental.

Um exemplo de números associados a geometria, podemos encontrar os números triangulares.

Da figura notamos que os números triangulares são os números dispostos como:

$$T_1 = 1$$

$$T_2 = 3$$

$$T_3 = 6$$

$$T_4 = 10$$

Este é um básico exemplo de sequência de números triangulares e eles tem uma fórmula geral, ou seja, podemos definir um padrão da sequência. O matemático sempre pensa nos atalhos, para tornar a vida mais fácil. Por exemplo:

$$ \begin{aligned} T_1 &= 1\\ T_2 &= T_1 + 2 = 1 + 2 = 3\\ T_3 &= T_2 + 3 = 3 + 3 = 6\\ T_4 &= T_3 + 4 = 6 + 4 = 10\\ \end{aligned} $$

De forma geral temos:

$$ \begin{cases} T_1 &=& 1\\ T_n &=& T_{n-1} + n\qquad \text{para qualquer número natural n.}\\ \end{cases} $$

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Números figurados: triangulares, quadrados e retangulares desenhados com bolinhas.

Progressão aritmética

Quadrados de pontos com 1, 4, 9 e 16 pontos.
As diferenças são 3, 5 e 7. São constantes? A sequência dos quadrados é uma PA?

Agora, vocês acreditam que Carl Friedrich Gauss aos 6 anos de idade deduziu os números triangulares? Hoje conhecemos como progressão aritmética.

Gauss estudava em uma escola da Alemanha, quando uma professora estressada com o comportamento de seus alunos, pediu para que eles somassem os números naturais de 1 a 100. Ao propor este problema, imaginou que os alunos iam levar cerca de 2 horas ou mais. Porém, para seu espanto, Gauss resolveu este problema em menos de 1 minuto aos 6 anos de idade.

  • Como você conseguiu calcular isso menino?
  • Fácil professora:

Dispomos os números de 1 a 100 em ordem crescente e depois em ordem decrescente da seguinte forma:

$$ \begin{cases} T_{100} &=& 1 + 2 + \dots + 99 + 100\\ T_{100} &=& 100 + 99 + \dots + 2 + 1\\ \end{cases} $$

Agora, professora, somamos os dois termos:

$$2 T_{100} = \underbrace{101 + 101+ \dots + 101 + 101}_{100~\text{vezes} } $$

Como somamos duas vezes temos:

$$T_{100} = \dfrac{100 \times 101}{2}$$

No ensino médio, conhecemos como:

$$T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

Assim como nos números triangulares, podemos definir um padrão da sequência de recorrência à partir do quadrado.

Porém este vamos deixar como exercício para vocês, definir um padrão da sequência de recorrência à partir do quadrado. 😃 😸

O truque de Gauss: duas escadas iguais formam um retângulo.