Em meados do século XVIII, quem quisesse aprender cálculo tinha um problema. A invenção de Newton e Leibniz tinha só setenta anos, e os seus resultados estavam espalhados em artigos de revistas científicas, em cartas e em livros escritos em latim, francês e inglês, com notações diferentes. O único manual famoso, a Análise dos infinitamente pequenos do marquês de L’Hôpital, de 1696, tratava apenas do cálculo diferencial. Não havia um livro que levasse o estudante, passo a passo, da álgebra até as equações diferenciais.

As Instituzioni analitiche de Agnesi foram esse livro.

Quatro livros em dois volumes

A obra tem cerca de mil páginas e está dividida em quatro livros:

  1. A análise das quantidades finitas (volume I, 1748): álgebra, resolução de equações, geometria analítica, cônicas e outras curvas, e a “construção das equações”, isto é, a resolução de equações por meio de figuras geométricas. É aqui que aparece a versiera.
  2. O cálculo diferencial (volume II, 1749): derivadas, tangentes, máximos, mínimos e pontos de inflexão.
  3. O cálculo integral: integrais, áreas, volumes, comprimentos de curvas e séries. Veja a área sob a curva.
  4. O método inverso das tangentes: o que hoje chamamos de equações diferenciais.

Agnesi não pretendia apresentar descobertas próprias. O mérito do livro está na organização: cada assunto vem depois daquilo de que depende, cada método é ilustrado por muitos exemplos resolvidos, e todo o cálculo é escrito na notação de Leibniz, com $dx$ e $\int$, que se mostraria a mais prática.

Maria Gaetana Agnesi numa gravura a buril de Ernesta Legnani Bisi, sobre desenho de Maria Longhi, de 1812.
Maria Gaetana Agnesi numa gravura a buril de Ernesta Legnani Bisi, sobre desenho de Maria Longhi, de 1812.Ernesta Legnani Bisi, a partir de Maria Longhi · Wikimedia Commons · domínio público

Resolver equações com régua e compasso

A parte mais antiga do livro mostra um costume da época que desapareceu: além de resolver uma equação com contas, os matemáticos gostavam de construir a solução, isto é, desenhá-la como um segmento.

O exemplo mais simples é a equação $x^2 = ab$, em que $a$ e $b$ são segmentos dados. Coloque $a$ e $b$ em linha reta, um depois do outro, e trace a semicircunferência que tem o segmento inteiro $a + b$ como diâmetro. No ponto onde $a$ encontra $b$, levante uma perpendicular até a semicircunferência. O comprimento $h$ dessa perpendicular resolve a equação: $h^2 = ab$.

Por quê? O triângulo formado pelas extremidades do diâmetro e pelo ponto da semicircunferência é retângulo (é inscrito numa semicircunferência), e a altura de um triângulo retângulo divide a hipotenusa em dois pedaços cujo produto é o quadrado da altura. Agnesi trata casos muito mais complicados, como as equações do terceiro e quarto graus, construídas com o cruzamento de duas cônicas.

Uma recepção extraordinária

Em 1749 uma comissão da Academia de Ciências de Paris examinou o livro e o considerou o tratado mais completo e mais bem organizado já escrito sobre o assunto. O segundo volume foi traduzido para o francês em 1775, com acréscimos de Charles Bossut. A tradução inglesa de John Colson, professor de Cambridge, saiu em 1801.

Exercício: a média geométrica

Demonstre que, na construção acima, $h^2 = ab$.

Chame de $C$ o ponto da semicircunferência e de $D$ o pé da perpendicular. O centro está no meio do diâmetro, e o raio é $r = \frac{a + b}{2}$. A distância de $D$ ao centro é $\left|\frac{a+b}{2} - a\right| = \frac{|b - a|}{2}$. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo centro, $D$ e $C$:

$$h^2 = r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2 - (b-a)^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab.$$

O segmento $h = \sqrt{ab}$ é a média geométrica de $a$ e $b$.

Exercício: construindo uma raiz quadrada

Use a construção para desenhar um segmento de comprimento $\sqrt{7}$, dispondo apenas de régua, compasso e de um segmento de comprimento 1.

Tome $a = 1$ e $b = 7$: um segmento de comprimento 8, dividido no ponto que está a 1 de uma das extremidades. Trace a semicircunferência de diâmetro 8 e levante a perpendicular no ponto de divisão. A altura é $h = \sqrt{1 \cdot 7} = \sqrt{7}$. Com o mesmo truque, qualquer raiz quadrada de um número construtível pode ser desenhada.

Fontes: Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, 2 vols. (1748–1749) · Guillaume de L’Hôpital, Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696) · Maria Gaetana Agnesi, Traités élémentaires de calcul différentiel et de calcul intégral, trad. P. T. d’Antelmy, com notas de C. Bossut (1775) · Massimo Mazzotti, The World of Maria Gaetana Agnesi, Mathematician of God (2007).

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