Comece por uma função conhecida, vista de um jeito estranho. A integral

$$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$

dá o comprimento de um arco de círculo de raio 1, medido a partir do ponto mais baixo, em função da altura $x$. É uma função complicada. Mas a sua inversa, que dá a altura em função do arco, é o seno, a função mais simples da trigonometria. E o seno tem uma propriedade que a integral esconde: é periódico. Como um quarto de volta mede

$$\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac\pi2,$$

o seno se repete a cada $4\cdot\frac\pi2=2\pi$.

Integrais que ninguém sabia calcular

No século XVIII, apareceram integrais parecidas, mas com uma raiz de polinômio de grau 3 ou 4 no lugar do grau 2. Elas surgiam no comprimento de um arco de elipse, e por isso ganharam o nome de integrais elípticas; no comprimento da lemniscata; e no movimento do pêndulo.

Um pêndulo de comprimento $L$ que balança com amplitude pequena tem período $T_0=2\pi\sqrt{L/g}$, o que se aprende no ensino médio. Mas a fórmula só vale para amplitudes pequenas. Com amplitude $\theta_0$ qualquer, o período exato é

$$T=4\sqrt{\frac Lg}\,K(k),\qquad K(k)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\qquad k=\operatorname{sen}\frac{\theta_0}2.$$

Para $\theta_0=90°$, $k=\frac{\sqrt2}2$ e $K\approx1{,}8541$. Então $T\approx7{,}416\sqrt{L/g}$, contra $6{,}283\sqrt{L/g}$ da fórmula simples: o pêndulo demora 18% a mais. Com $k=0$, $K=\frac\pi2$ e volta-se à fórmula do ensino médio.

A integral $K$ não se escreve com funções conhecidas. O francês Adrien-Marie Legendre dedicou quarenta anos a essas integrais, classificou-as em três tipos e calculou tabelas enormes de valores. O seu Tratado das funções elípticas saiu entre 1825 e 1828.

Abel chegou a essas integrais por conselho de Ferdinand Degen. Em 1821, ao ler a falsa solução do quinto grau do jovem norueguês, o matemático de Copenhague lhe recomendou estudá-las: seriam um “Estreito de Magalhães” que levaria a um oceano de descobertas.

A ideia de Abel

Abel teve a ideia que Legendre não teve: fazer com essas integrais o que se faz com o arco-seno, isto é, invertê-las. Em vez de estudar o arco em função da altura, estudar a altura em função do arco. No caso mais simples, defina

$$s=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\qquad\Longrightarrow\qquad x=\operatorname{sl}(s),$$

o seno lemniscático. Como no caso do seno, a função inversa é muito mais bem comportada que a integral. Ela vai de 0 a 1 quando $s$ vai de 0 a

$$\frac\varpi2=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\approx1{,}31103,$$

e se repete com período $2\varpi\approx5{,}2441$. O símbolo $\varpi$, um pi escrito de outro jeito, é a constante da lemniscata.

Abel publicou a teoria em 1827, no segundo volume do Jornal de Crelle, com o título Pesquisas sobre as funções elípticas. O alemão Carl Jacobi chegou às mesmas ideias, de forma independente, no mesmo ano, e os dois passaram dois anos numa corrida de artigos.

Dois períodos

A grande surpresa aparece quando se deixa $s$ ser um número complexo. Na integral, troque $t$ por $iu$. Como $(iu)^4=u^4$ e $dt=i\,du$,

$$\int_0^{ix}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=i\int_0^x\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}=is.$$

Isso quer dizer que $\operatorname{sl}(is)=i\operatorname{sl}(s)$. Como $\operatorname{sl}$ tem o período real $2\varpi$, ela ganha de brinde um período imaginário, $2\varpi i$:

$$\boxed{\operatorname{sl}(s+2\varpi)=\operatorname{sl}(s),\qquad\operatorname{sl}(s+2\varpi i)=\operatorname{sl}(s).}$$

O seno se repete numa direção só. As funções elípticas se repetem em duas direções do plano complexo: os seus valores ficam determinados por um único paralelogramo, como um ladrilho que se repete em todo o chão. Abel mostrou que isso vale para todas as funções elípticas, e que elas obedecem a fórmulas de adição parecidas com a do seno, $\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a$.

Exercício: um pêndulo balança com amplitude de 60°. Quanto o seu período é maior que o da fórmula simples?

Com $\theta_0=60°$, $k=\operatorname{sen}30°=\frac12$ e $K\left(\frac12\right)\approx1{,}6858$. A razão é $\dfrac{4K}{2\pi}=\dfrac{4\cdot1{,}6858}{6{,}2832}\approx1{,}073$: o período é cerca de 7% maior. Um relógio de pêndulo que balançasse tanto atrasaria quase uma hora e quarenta minutos por dia, por isso os relógios usam amplitudes pequenas.

Exercício: mostre que a derivada do seno lemniscático é sl′(s) = √(1 − sl(s)⁴).

Se $x=\operatorname{sl}(s)$, então $s=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$, e pelo teorema fundamental do cálculo $\frac{ds}{dx}=\frac1{\sqrt{1-x^4}}$. A derivada da inversa é o inverso da derivada: $\frac{dx}{ds}=\sqrt{1-x^4}$. É o análogo exato de $\operatorname{sen}'s=\cos s=\sqrt{1-\operatorname{sen}^2s}$, com a quarta potência no lugar do quadrado.

Fontes: Niels Henrik Abel, “Recherches sur les fonctions elliptiques”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 2 (1827) e 3 (1828) · Carl Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829) · Jeremy Gray, Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century (Springer, 2015).

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