Euler's Eyes
2026-10-15
O legado de Niels Henrik Abel
Abel deixou aos matemáticos trabalho para cento e cinquenta anos.
— Frase atribuída a Charles Hermite
Abel trabalhou como matemático por menos de oito anos. Nesse tempo, fechou a questão mais antiga da álgebra, deu rigor às séries, criou as funções elípticas e escreveu uma memória que só foi entendida inteiramente décadas depois da sua morte. O seu nome está hoje em mais lugares da matemática que o de quase qualquer outro: grupos abelianos, integrais abelianas, funções abelianas, variedades abelianas, o teorema de Abel, a soma de Abel, o teste de Abel.
A memória de Paris
A obra que Abel entregou à Academia de Paris em 1826, e que Cauchy perdeu, continha um resultado enorme. Ele mostra que, para qualquer curva algébrica, as somas de certas integrais ao longo da curva podem ser reduzidas a um número fixo delas, que só depende da curva. Esse número é o que Riemann, trinta anos depois, chamaria de gênero da curva, o número de “furos” da superfície correspondente. Hoje o resultado se chama teorema de Abel, e dele nasceram a geometria algébrica e a teoria das superfícies de Riemann. Conta-se que Legendre, ao conhecê-lo, o chamou de monumentum aere perennius, “um monumento mais duradouro que o bronze”, com as palavras do poeta latino Horácio.
A história do manuscrito é quase um romance. Depois da morte de Abel, o cônsul da Noruega em Paris pediu à Academia que procurasse o texto. Cauchy o encontrou, e ele foi publicado em 1841, com erros. Durante a impressão, o original desapareceu de novo. Só foi reencontrado em 1952, pelo matemático norueguês Viggo Brun, numa biblioteca de Florença, entre os papéis de um colecionador italiano.
O monumento e o prêmio
No fim do século XIX, quando soube que o Prêmio Nobel não teria uma categoria de matemática, o norueguês Sophus Lie propôs criar um prêmio com o nome de Abel. A ideia perdeu força com a morte de Lie, em 1899, e com a separação entre Noruega e Suécia, em 1905. Foi retomada no bicentenário do nascimento de Abel, em 2002: o governo norueguês criou o Prêmio Abel, entregue pela primeira vez em 2003, ao francês Jean-Pierre Serre. Hoje ele é considerado o equivalente ao Nobel na matemática. Em 2015, foi dado a John Nash e Louis Nirenberg.
O que ficou
- Álgebra. A impossibilidade da fórmula geral para o grau 5, as equações abelianas e os grupos comutativos.
- Análise. O rigor nas séries, a série binomial para qualquer expoente e o teorema de Abel sobre as séries de potências.
- Funções elípticas. A inversão das integrais, a dupla periodicidade e as fórmulas de adição, junto com Jacobi.
- Geometria algébrica. O teorema de Abel sobre as integrais de funções algébricas, raiz da teoria de Riemann.
- Geometria clássica. A divisão da lemniscata com régua e compasso, para os mesmos números que o círculo.
Para lembrar
- Niels Henrik Abel viveu de 1802 a 1829. Fez toda a sua obra entre os 19 e os 26 anos.
- Não existe fórmula com radicais para a equação geral de grau 5 ou maior: é o teorema de Abel-Ruffini.
- A série binomial $(1+x)^m=1+mx+\cdots$ converge para $|x|<1$; Abel foi o primeiro a provar isso para qualquer $m$.
- Invertendo a integral $\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$, obtém-se o seno lemniscático, uma função com dois períodos, um real e um imaginário.
- O ponto que divide ao meio cada quarto da lemniscata fica a $\sqrt{\sqrt2-1}$ do centro, um número construtível.
- Um grupo é abeliano quando a ordem das operações não importa; as equações com grupo abeliano se resolvem por radicais.
Fontes: Arild Stubhaug, Niels Henrik Abel and his Times (Springer, 2000) · o Prêmio Abel, Academia Norueguesa de Ciências e Letras · biografia de Abel, MacTutor.
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