Lei de correspondência

A lei de correspondência é a definição moderna para o assunto funções. Além dela, é importante definirmos conceitos de domínio e imagem, já explicados no post de introdução de funções, sob visão de René Descartes.

Homenagem a Abel

Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Findo, na Noruega. Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as “Disquisitiones” (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais.

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à família, mas mesmo assim continuou pesquisando. Em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida.

Niels Henrik Abel	Christine Kemp (Crelly)

Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle. Este assunto é muito complexo e não cabe a livro de crianças. Caso tenha curiosidade, tem um livro sobre a história da matemática com uma introdução os Grupos de Abel.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito. Em uma de suas cartas a um amigo escreveu:

“Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo”

Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido à falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números. Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim.

Em 1830, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo Instituto Francês e que Legendre classificou como:

“um monumento mais durável que o bronze”

Nela continha importantes generalizações sobre funções elípticas.

Lei de Correspondência

A lei de correspondência é uma sentença aberta, que expressa essa lei, dada por:

Rotulada por Euler em 1734, em que esta sentença é definida como:

Definição (Lei de Correspondência): Dado um $x\in A$ determinamos o $y\in B$ de modo que o par ordenado $(x,y)\in f$ como

$$y=f(x)$$

Exemplo de lei de correspondência

Exemplo 1: Dados os conjuntos $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ e $B = \\{1, 2, 3, 4\\}$ e a sentença aberta $y = x+1$, é possível considerarmos a função:

de $A$ em $B,$ cujos pares $(x, y)$ verificam a lei $y = x + 1$.

Função

Definição (Função): Dizemos função $f$ de $A$ em $B$, toda sentença que obedece à lei de correspondência $y=f(x).$

Há casos de funções em que a lei de correspondência para obter $y$ a partir de $x$ muda, dependendo do valor de $x.$——————————————————————————————

Essas funções são definidas por várias sentenças.

Do latim functus (função) vem do particípio passado do verbo fungor, que é derivado de fungi, que pode ser interpretado como:

• exercício de uma atividade.
• falar sobre aquilo que acontece.
• ou ação de cumprir um encargo.

O ato de ouvir e falar representam o que chamamos hoje de função. Desta forma René descartes usou como símbolo uma orelha.

Leonhard Euler, em 1734, na revista Comment Petropol. ad Annes rotulou uma função por

Exemplo de função

Exemplo 2: Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que

uma função definida por duas sentenças:

• $y=1$ quando $x$ é negativo;
• $y=-1$ quando $x$ é positivo ou igual a zero.

Domínio

Um conceito importante é o de domínio, que definimos como:

Definição (Domínio): Seja $\mathcal{R}$ uma relação de $A$ em $B,$ dizemos dominio de $\mathcal{R}$ o conjunto $\mathcal{D}$ ou $\mathcal{D}(f)$ da lei de correspondência, os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a $\mathcal{R}$:

$$f:A \longrightarrow B$$

Neste caso, $\mathcal{D}(f)=A$

• Domínio $\mathcal{D}(f)$ é o conjunto das abscissas dos pontos do gráfico.
• O conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais por eles conduzidas interceptam o gráfico.

Imagem

Outro conceito importante são o de donínio, que definimos como:

Definição (Imagem): Seja $\mathcal{R}$ uma relação de $A$ em $B,$ dizemos imagem de $\mathcal{R}$ o conjunto $\mathcal{Im}$ ou $\mathcal{Im}(f)$ da lei de correspondência:

$$f:A \longrightarrow B$$

em que este conjunto é contruído pelos elementos $y\in B$ para os quais existe algum $x\in A$ tal que $(x,y)\in f$.

• Imagem $\mathcal{Im}(f)$ é o conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico
• O conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais por eles conduzidas interceptam o gráfico.

Contradomínio

Definição (Contradomínio): Seja $\mathcal{R}$ uma relação de $A$ em $B,$ dizemos contradomínio de $\mathcal{R}$ o conjunto $\mathcal{CD}$ ou $\mathcal{CD}(f)$ da lei de correspondência:

$$f:A \longrightarrow B$$

Neste caso, $\mathcal{CD}(f)=B$

Exemplo dos conjuntos

Exemplo 3: Dados os conjuntos $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ e $B = \\{1, 2, 3, 4,5,6\\}$ e a sentença aberta $y = x+1$, é possível considerarmos a função:

de $A$ em $B,$ cujos pares $(x, y)$ verificam a lei $y = x + 1$.

• $\mathcal{D}(f) = \\{0, 1,2,3\\}=A$
• $\mathcal{Im}(f) = \\{1,2,3,4\\} \subseteq B$
  • A imagem de $f$ é um subconjunto de $B$
• $\mathcal{CD}(f) = \\{0,1,2,3,4,5,6\\}=B$

Existência e Unicidade de uma função

Uma função está bem definida (existe e é única), quando são conhecidos:

• Domínio $\mathcal{D}(f)$
• Contradomínio $\mathcal{CD}(f)$
• A lei de correspondência $y = f(x)$

Entretanto, apresentamos apenas a sentença aberta $y =f(x)$ para nos referirnlos a urna função $f.$ Neste caso, fica subentendido que:

• $\mathcal{D}(f)$ é o conjunto formado pelos números reais cujas imagens são números reais, mais especificamente:

• $x\in \mathcal{D}(f) \quad \Rightarrow \quad y=f(x)\in \mathbb{R}$

• Se $x$ pertence ao conjunto do domínio da função, implica que a sentença $y=f(x)$ pertence ao conjunto dos números reais.

EXERCÍCIOS

1. Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações:

• a) $\\{(1,1), (1,3), (2,4)\\}$
• b) $\\{(-2,4), (-1,1), (3,-7),(2,1)\\}$
• c) $\\{(2,1), (1,-3), (5, \sqrt{2})\\}$
• d) ${(1+\sqrt{2}, \sqrt{2}), (1-\sqrt{3},1)}$
• e) ${(3,1/2), (5/2,-1), (3/2,0)}$

2. Sejam os conjuntos $A = \\{-2,-1,0.1.2.3.4.5\\}$, $B = \\{-2,-1,,0,1,2\\}$ e $R$ a relação binária de $A$ em $B$ definida por

$$x R y \Leftrightarrow x = y^2$$

Pede-se:

a) enumerar os pares ordenados em R

b) enumerar os elementos do domínio e da imagem de R

c) fazer o gráfico cartesiano de R

Estes são os conceitos de relações. Aguardem os próximos posts.