Euler's Eyes
2026-10-11
Definições e elementos
Triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos: os polígonos estão nos favos de mel, nas placas de trânsito e nas porcas de parafuso.
Quem descobriu
Os polígonos regulares mais simples foram construídos com régua e compasso por Euclides (c. 300 a.C.), no livro IV dos Elementos: triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e o polígono de 15 lados. Por mais de dois mil anos, ninguém conseguiu construir outro polígono regular com número primo de lados. Em 1796, aos 18 anos, Carl Friedrich Gauss construiu o heptadecágono, o polígono regular de 17 lados.
A história
A descoberta de Gauss foi tão marcante que, segundo ele mesmo, o fez escolher a matemática em vez da filologia. Ele mostrou quais polígonos regulares podem ser construídos com régua e compasso; em 1837, Pierre Wantzel completou a prova de que os demais são impossíveis. Conta-se que Gauss quis um heptadecágono no seu túmulo, mas o escultor se recusou, dizendo que ficaria parecido com um círculo.
Os nomes dos polígonos vêm do grego: polys, “muitos”, e gonia, “ângulo”. Pentágono tem cinco ângulos; hexágono, seis; octógono, oito.
No dia a dia
- Favos de mel. As abelhas constroem hexágonos regulares. Papo de Alexandria já admirava essa escolha no século IV, e em 1999 Thomas Hales provou que o hexágono divide o plano em células de mesma área com o menor perímetro possível.
- Placa de PARE. O octógono regular vermelho é reconhecido até de costas ou de longe.
- Porcas e parafusos. As cabeças sextavadas são hexágonos: a chave encaixa em várias posições.
- Pisos e calçadas. Ladrilhos hexagonais, quadrados e triangulares cobrem o chão sem deixar frestas.
Fontes: Gauss (MacTutor) · Elementos, proposição IV.11 · Wantzel (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoPolígono
Dada uma sequência de pontos de um plano $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$, com $n \geq 3$, todos distintos e com três pontos consecutivos não colineares (considerando consecutivos também $A_{n-1}, A_n, A_1$ e $A_n, A_1, A_2$), chama-se polígono a reunião dos segmentos
$$A_1A_2 \cup A_2A_3 \cup \cdots \cup A_{n-1}A_n \cup A_nA_1.$$Os pontos $A_i$ são os vértices, os segmentos são os lados e os ângulos $\hat A_1 = A_n\hat{A_1}A_2$, …, $\hat A_n = A_{n-1}\hat{A_n}A_1$ são os ângulos do polígono. Um polígono de $n$ vértices tem $n$ lados e $n$ ângulos. A soma dos lados é o perímetro.
DefiniçãoSimples, convexo e côncavo
- Um polígono é simples se dois lados não consecutivos nunca se cortam. Caso contrário, é complexo (e pode ser entrelaçado, como uma estrela).
- Um polígono simples é convexo se a reta de dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os outros $n - 2$ vértices num mesmo semiplano. Se não é convexo, é côncavo.
Interior e exterior. Dado um polígono simples e um ponto fora dele, trace uma semirreta com origem no ponto que corte o polígono sem passar por vértices. Se o número de cortes for ímpar, o ponto é interno; se for par, é externo. O interior de um polígono convexo é uma região convexa; o de um côncavo, côncava. O polígono com o seu interior forma a superfície poligonal.
ResumoNomes dos polígonos
| $n$ | nome | $n$ | nome |
|---|---|---|---|
| 3 | triângulo (trilátero) | 9 | eneágono |
| 4 | quadrilátero (quadrângulo) | 10 | decágono |
| 5 | pentágono | 11 | undecágono |
| 6 | hexágono | 12 | dodecágono |
| 7 | heptágono | 15 | pentadecágono |
| 8 | octógono | 20 | icoságono |
Em geral, um polígono de $n$ lados é um $n$-látero.
DefiniçãoPolígono regular
Um polígono que tem os lados congruentes é equilátero; se tem os ângulos congruentes, é equiângulo. Um polígono convexo é regular se é equilátero e equiângulo. O triângulo regular é o equilátero; o quadrilátero regular é o quadrado. Um losango é equilátero sem ser regular; um retângulo é equiângulo sem ser regular.