Os números racionais positivos foram muito utilizados no Egito em séculos antes de Cristo. Após anos como nômades, os homo sapiens iniciaram a revolução agrícola e com isso, a necessidade do uso dos números racionais. O uso eram em marcações de terras era a principal necessidade do uso destes números.

No rio Nilo as inundações de terras, forçavam a remarcação de terras. Desta forma, os números racionais foram utilizados para remarcar as terras.

Definição

Até o presente momento, pela história da matemática, notamos que os números racionais são representados por uma fração em que:

  • o numerador é um inteiro $p\in \mathbb{Z}$.
  • o denominador é um inteiro $q\in \mathbb{Z}$.
  • o denominador é diferente de zero $q\neq 0$.
$$\dfrac{\text{numerador} }{\text{denominador} }=\dfrac{p}{q} \qquad \text{para } p, q\neq 0 \in \mathbb{Z}$$

Sem perda de generalidade, vamos iniciar pela definição de números racionais positivos. Com isso, o conjunto dos números racionais pode ser escrito como:

Definição: Sejam $p$ e $q$ inteiros positivos com $q\neq 0$, então $\dfrac{p}{q}$ é um número racional positivo. Já o conjunto dos números racionais positivos é dada por:

$$\mathbb{Q} = \left\\{ \dfrac{p}{q}, \quad \text{com p e q inteiros positivos e q diferente de zero} \right\\}$$

Portanto, construímos nosso terceiro conjunto de números. A ordem de construção dos números foram:

  • números naturais $\mathbb{N} = \\{0,1,2,3,\dots\\}$
  • números inteiros $\mathbb{Z} = \\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\\}$
  • números racionais $\mathbb{Q} = \left\\{\dots, -\dfrac{3}{2},-1, -\dfrac{1}{2}, 0,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2},2,\dots \right\\}$

Outra forma de representar os números racionais

Na seção anterior, representamos um número racional como $\frac{p}{q}.$ Aqui vamos representar um número racional como a divisão da unidade em q partes iguais. Seja $p$ e $q$ inteiros positivos, tomamos $p$ partes da divisão da unidade:

$$p~.~\dfrac{1}{q} = \dfrac{p}{q}$$

em que $p$ é o número de partes da divisão da unidade que pode ser vista como:

$$p~.~\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{q} + \dots + \dfrac{1}{q} \qquad p\text{ vezes}$$

Exemplo 1: As representações de $1$ e $\dfrac{1}{3}$ são:

Exemplo 2: A representação de $\dfrac{2}{3}$ é:

$$2~.~\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{3}$$

Frações Equivalentes

Em certas ocasiões, podemos obter frações equivalentes. Pelo princípio da balança podemos obter essas frações equivalentes.

Exemplo 3: frações equivalentes:

$$\dfrac{3}{5}$$ $$\dfrac{6}{10}$$

Essas são frações equivalentes?

De fato, vale lembrar que $\dfrac{2}{2}=1$

$$\dfrac{3}{5} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 2} } }{ {\color{red}{\times 2} } } = \dfrac{6}{10}$$

Definição: Sejam $p$, $q$, $a$ e $b$ inteiros positivos, então $\dfrac{p}{q}$ é uma fração equivalente a $\dfrac{a}{b}$ se e somente se $\dfrac{p}{q}=\dfrac{a}{b}$.

Do exemplo 3, note que::

$$\dfrac{6}{10} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{6}{10} \dfrac{ {\color{red}{\div 2} } }{ {\color{red}{\div 2} } } = \dfrac{3}{5}$$

Portanto, relamente são equivalentes.

Soma de frações

Em soma de frações, a primeira regra é que o denominador deve ser o mesmo. Observe o exemplo:

$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$$

E quando os denominadores são diferentes?

Método 1: Balança

O próximo passo é deixar o mesmo denominador para as duas frações. Para isto, podemos usar o método da balança.

$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 3} } }{ {\color{red}{\times 3} } } + \dfrac{1}{3} \dfrac{ {\color{red}{\times 5} } }{ {\color{red}{\times 5} } } = \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{14}{15}$$

De forma geral, temos:

$$\dfrac{p}{q} + \dfrac{a}{b} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{p}{q} \dfrac{ {\color{red}{\times b} } }{ {\color{red}{\times b} } } + \dfrac{a}{b} \dfrac{ {\color{red}{\times q} } }{ {\color{red}{\times q} } } = \dfrac{p ~.~b}{q~.~b} + \dfrac{a~.~q}{q~.~b} = \dfrac{pb + aq}{qb}$$

com $q, b$ diferente de zero,

Método 2: Mínimo múltiplo comum

O método do mínimo múltiplo comum é feito da seguinte forma:

$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}$$

Agora vamos calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores:

$$\mathcal{D}(3)=\\{3,6,9,12,{\color{red}{15} },18,\dots\\}$$

$$\mathcal{D}(5)=\\{5,10,{\color{red}{15} },20\dots\\}$$

$$mmc(3,5) = \min \\{\mathcal{D}(3)\cap \mathcal{D}(5)\\} = 15$$

Logo o mínimo múltiplo comum entre os denominadores é 15. Assim, podemos fazer a soma:

$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}= \dfrac{3 {\color{red}{\times 3} } }{15} + \dfrac{1 {\color{red}{\times 5} } }{15} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} =\dfrac{14}{15}$$

Subtração de frações

Em subtração de frações, a primeira regra é que o denominador deve ser o mesmo. Observe o exemplo:

$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$$

E quando os denominadores são diferentes?

Método 1: Balança

O próximo passo é deixar o mesmo denominador para as duas frações. Para isto, podemos usar o método da balança.

$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 3} } }{ {\color{red}{\times 3} } } - \dfrac{1}{3} \dfrac{ {\color{red}{\times 5} } }{ {\color{red}{\times 5} } } = \dfrac{9}{15} - \dfrac{5}{15} = \dfrac{4}{15}$$

De forma geral, temos:

$$\dfrac{p}{q} - \dfrac{a}{b} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{p}{q} \dfrac{ {\color{red}{\times b} } }{ {\color{red}{\times b} } } - \dfrac{a}{b} \dfrac{ {\color{red}{\times q} } }{ {\color{red}{\times q} } } = \dfrac{p ~.~b}{q~.~b} - \dfrac{a~.~q}{q~.~b} = \dfrac{pb - aq}{qb}$$

com $q, b$ diferente de zero,

Método 2: Mínimo múltiplo comum

O método do mínimo múltiplo comum é feito da seguinte forma:

$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3}$$

Agora vamos calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores:

$$\mathcal{D}(3)=\\{3,6,9,12,{\color{red}{15} },18,\dots\\}$$

$$\mathcal{D}(5)=\\{5,10,{\color{red}{15} },20\dots\\}$$

$$mmc(3,5) = \min \\{\mathcal{D}(3)\cap \mathcal{D}(5)\\} = 15$$

Logo o mínimo múltiplo comum entre os denominadores é 15. Assim, podemos fazer a soma:

$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3}= \dfrac{3 {\color{red}{\times 3} } }{15} - \dfrac{1 {\color{red}{\times 5} } }{15} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{5}{15} =\dfrac{4}{15}$$

Multiplicação de frações

Em multiplicação de frações, a única regra para o denominador é que o número seja diferente de zero. Observe o exemplo:

$$\dfrac{1}{3} ~.~ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 ~.~ 1}{3~.~2}= \dfrac{1}{6}$$

De forma geral, temos:

$$\dfrac{p}{q} ~.~ \dfrac{a}{b} = \dfrac{p ~.~ a}{q~.~b}$$

Divisão de frações

Em divisão de frações, a única regra para o denominador é que o número seja diferente de zero. Observe o exemplo:

$$\dfrac{1}{3} ~\div~ \dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{1}{3} }{\dfrac{1}{2} }= \dfrac{\dfrac{1}{3} {\color{red}{\times 2} } }{\underbrace{\dfrac{1}{2} {\color{red}{\times 2} } }_{=1} } = \dfrac{\dfrac{2}{3} }{1} = \dfrac{2}{3}$$

De forma geral, temos:

$$\dfrac{p}{q} ~\div~ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\dfrac{p}{q} {\color{red}{\times \dfrac{b}{a} } } }{ \underbrace{\dfrac{a}{b} {\color{red}{\times \frac{b}{a} } } }_{1} } = \dfrac{p }{q}~.~ \dfrac{b}{a}$$