Se a maçã cai, por que a Lua não cai?

Antes de Newton, a resposta parecia simples: o céu e a Terra seguiam regras diferentes. Na Terra, as coisas caem. No céu, os astros giram em círculos perfeitos, para sempre. A grande ideia de Newton foi desconfiar dessa separação: talvez a Lua esteja caindo o tempo todo.

O canhão de Newton

A macieira do pomar de Woolsthorpe Manor que a tradição aponta como a “árvore de Newton”.
A macieira do pomar de Woolsthorpe Manor que a tradição aponta como a “árvore de Newton”.David Smith · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0

Num rascunho para os Principia, Newton propôs um experimento mental. Imagine um canhão no alto de uma montanha altíssima, atirando na horizontal. Com pouca pólvora, a bala cai perto. Com mais, cai mais longe. Mas a Terra é redonda: se a bala for rápida o bastante, o chão vai se curvando para baixo na mesma medida em que ela cai. A bala cai para sempre e nunca chega ao chão. Ela entra em órbita.

Perto da superfície da Terra, essa velocidade é de cerca de 7,9 km/s, ou 28 mil km/h. É a velocidade dos satélites em órbita baixa. Uma volta completa leva cerca de 84 minutos, sem contar a resistência do ar, que na prática obriga os satélites a voar bem acima da atmosfera.

A Lua é essa bala de canhão. Ela cai em direção à Terra a cada instante, mas anda tão depressa de lado que nunca chega.

A lei do inverso do quadrado

Para a ideia funcionar, a gravidade precisa enfraquecer com a distância. Newton supôs que ela diminui com o quadrado da distância. Em notação de hoje:

$$F=G\,\frac{Mm}{r^2}.$$

Aqui $M$ e $m$ são as massas, $r$ é a distância entre os centros e $G$ é uma constante universal. Dobrar a distância divide a força por $2^2=4$. Triplicar, divide por $9$.

O teste da Lua

Newton fez a conta que transformou essa suposição em ciência. A Lua está a cerca de 60 raios terrestres do centro da Terra. Se a gravidade cai com o quadrado da distância, a aceleração da Lua deve ser $60^2=3600$ vezes menor que a de uma maçã na superfície:

$$\frac{9{,}81}{3600}\approx0{,}00272\ \text{m/s}^2.$$

Agora vamos medir a aceleração da Lua de outro jeito, só com astronomia. Ela dá uma volta de raio $r\approx384\,400$ km em $T\approx27{,}3$ dias. A aceleração de quem gira em círculo é

$$a=\frac{4\pi^2r}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot3{,}844\times10^8}{(27{,}32\cdot86\,400)^2}\approx0{,}00272\ \text{m/s}^2.$$

Os dois números coincidem. A força que derruba a maçã e a que segura a Lua são a mesma. Newton escreveu que achou as contas “bem próximas”. Em 1666, porém, ele usava um valor ruim para o raio da Terra, e o acordo não ficou perfeito. Só com medidas melhores, anos depois, a conta fechou de vez.

Kepler, deduzido em quatro linhas

Décadas antes, Kepler tinha descoberto nos dados astronômicos que o quadrado do período de um planeta é proporcional ao cubo do tamanho da órbita. Ninguém sabia por quê. Com a gravitação e a segunda lei, a explicação cabe em poucas linhas, ao menos para órbitas circulares.

A gravidade é a força que mantém o corpo na curva:

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2=\frac{GM}{r}.$$

Como uma volta tem comprimento $2\pi r$, o período é $T=\dfrac{2\pi r}{v}$. Elevando ao quadrado e substituindo $v^2$:

$$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3.$$

É a terceira lei de Kepler. Para órbitas elípticas a conta é mais longa, e Newton a fez nos Principia, mostrando também que a órbita sob uma força de inverso do quadrado é uma elipse, a resposta que ele deu a Halley em 1684.

Compare raios de órbitas circulares em torno da mesma massa central. Órbitas maiores são mais lentas: o período cresce com r elevado a 3/2.

Uma lei universal

A palavra mais ousada da teoria é universal: a mesma lei vale para maçãs, luas, planetas e cometas. Em 1846, irregularidades na órbita de Urano levaram Urbain Le Verrier a calcular onde deveria estar um planeta desconhecido. Os astrônomos apontaram o telescópio para lá e encontraram Netuno. Foi descoberto com lápis e papel antes de ser visto.

Exercício: se o raio de uma órbita triplica, como muda o período?

Como $T^2\propto r^3$, temos $T\propto r^{3/2}$. O período fica multiplicado por $3^{3/2}=3\sqrt3\approx5{,}2$.

Exercício: a que distância do centro da Terra a gravidade cai para 1/4 do valor na superfície?

A força cai com $1/r^2$. Para ficar 4 vezes menor, a distância precisa dobrar: 2 raios terrestres, ou cerca de 12 700 km do centro.

Fontes: cronologia do Newton Project · Newton e os Principia, MacTutor.

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