Um ponto e seus reflexos

Escolha $0<\alpha<\pi/2$, cuja imagem é $(\cos\alpha,\sin\alpha)$. Uma reflexão no eixo vertical troca o sinal da primeira coordenada; uma reflexão no eixo horizontal troca o da segunda; a simetria em relação à origem troca ambos.

Essas três operações geram os pontos de $\pi-\alpha$, $\pi+\alpha$ e $2\pi-\alpha$. Logo:

Ângulo Seno Cosseno Tangente
$\pi-\alpha$ $\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\tan\alpha$
$\pi+\alpha$ $-\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $\tan\alpha$
$2\pi-\alpha$ $-\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $-\tan\alpha$

Demonstração para o segundo quadrante

O reflexo de $P=(u,v)$ no eixo vertical é $P'=(-u,v)$. A altura permanece a mesma, mas a posição horizontal fica negativa. Como $P'$ corresponde ao ângulo $\pi-\alpha$:

$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.$$

Dividindo as coordenadas, $\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$. As outras linhas da tabela são demonstradas pelas reflexões correspondentes.

As outras três funções

Cotangente tem o mesmo sinal da tangente; secante tem o mesmo sinal do cosseno; cossecante, o mesmo sinal do seno. Tomar os recíprocos das entradas da tabela fornece seus valores, respeitando os pontos em que os denominadores não podem ser zero.

Três exemplos

$$\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac\pi6=\frac12,$$

$$\cos\frac{5\pi}{4}=-\cos\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}{2},$$

$$\tan\frac{11\pi}{6}=-\tan\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Primeiro identificamos o quadrante, depois o ângulo de referência e finalmente o sinal. Se a entrada tiver várias voltas, retiramos múltiplos de $2\pi$ antes desses passos.

No dia a dia

  • Calculadoras e computadores. Toda calculadora reduz o arco ao 1º quadrante antes de calcular, o que permite guardar uma tabela pequena.
  • Navegação. Um rumo no 3º quadrante, como $225^\circ$, tem as duas componentes negativas: o barco vai para oeste e para o sul.
  • Jogos. A direção de um personagem virado para $150^\circ$ é obtida da direção de $30^\circ$ trocando o sinal da componente horizontal.
Rumos em qualquer quadrante: os sinais do cosseno e do seno dão o sentido do deslocamento.

Exercícios com resolução

1. Calcule $\cos(7\pi/6)$ e $\sin(7\pi/4)$.

Conferir resolução 1

$7\pi/6=\pi+\pi/6$, então o cosseno é $-\sqrt3/2$. Como $7\pi/4=2\pi-\pi/4$, o seno é $-\sqrt2/2$.

2. Calcule $\sec(2\pi/3)$.

Conferir resolução 2

$\cos(2\pi/3)=-1/2$. Seu recíproco é $-2$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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