Algumas equações não têm fórmula. Não existe uma “Bhaskara” para $e^x+x-3=0$, e a fórmula das equações de terceiro grau é tão trabalhosa que quase ninguém a usa. Nesses casos, o jeito é aproximar: chutar um valor, ver o quanto erramos e corrigir o chute. A questão é como corrigir bem.

O exemplo de Newton

No De analysi, de 1669, Newton escolheu a equação

$$y^3-2y-5=0.$$

Testando, ele viu que a raiz fica perto de $2$, porque $2^3-2\cdot2-5=-1$. Então escreveu $y=2+p$, onde $p$ é a correção que falta, e substituiu:

$$(2+p)^3-2(2+p)-5=p^3+6p^2+10p-1=0.$$

Como $p$ é pequeno, $p^2$ e $p^3$ são menores ainda. Newton os jogou fora e ficou com $10p-1=0$, ou seja, $p=0{,}1$. Novo chute: $y=2{,}1$. Repetindo a mesma ideia com $y=2{,}1+q$, achou $q\approx-0{,}0054$, e assim por diante. Em poucos passos chegou a $y\approx2{,}09455148$.

A ideia geométrica: seguir a tangente

Jogar fora $p^2$ e $p^3$ é o mesmo que trocar a curva pela sua reta tangente. Perto do ponto de contato, a tangente quase coincide com a curva, e encontrar onde uma reta corta o eixo é fácil.

Partindo de um chute $x_n$, a tangente ao gráfico de $f$ nesse ponto é

$$y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).$$

Ela corta o eixo horizontal quando $y=0$. Isolando $x$, temos o novo chute:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$

Em palavras: novo chute = chute − f(chute) ÷ f′(chute).

Aplicada à equação de Newton, com $f(y)=y^3-2y-5$ e $f'(y)=3y^2-2$, a fórmula dá:

Passo $y$
0 2
1 2,1
2 2,0945681
3 2,0945514817
4 2,0945514815

A cada passo, o número de casas decimais certas praticamente dobra.

Exemplo: raízes quadradas

Para calcular $\sqrt2$, resolvemos $x^2-2=0$. Com $f'(x)=2x$, a fórmula vira

$$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right),$$

a média entre o chute e $2$ dividido pelo chute. Começando com $x_0=2$: $1{,}5$, depois $1{,}41667$, depois $1{,}4142157$. Os babilônios já usavam essa receita há quase 4 mil anos; o método de Newton mostra que ela é um caso de uma ideia muito mais geral.

Aproximações de √2
PassoxResíduo x² − 2

Escolha uma aproximação positiva e avance um passo por vez. O resíduo x² − 2 mostra quanto a aproximação ainda deixa de satisfazer a equação.

Do mesmo jeito, para $\sqrt7$ resolvemos $x^2-7=0$. Partindo de $3$: $2{,}6667$, $2{,}64583$, $2{,}6457513$. Três passos e já temos sete casas certas.

Exemplo: a razão áurea

Os gregos já conheciam um problema famoso: dividir um segmento $AC$ num ponto $B$ de modo que o segmento inteiro esteja para a parte maior assim como a parte maior está para a menor,

$$\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{BC}.$$

Euclides chamou isso de dividir o segmento em extrema e média razão e fez a construção com régua e compasso na Proposição VI.30 dos Elementos, numa versão com áreas que já aparece na Proposição II.11. Fazendo $BC=1$ e $AB=x$, a condição fica $\frac{x+1}{x}=x$, isto é,

$$x^2-x-1=0.$$

A raiz positiva é a razão áurea, $\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\approx1{,}6180340$. Com $f(x)=x^2-x-1$ e $f'(x)=2x-1$, o método de Newton dá

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-x_n-1}{2x_n-1}=\frac{x_n^2+1}{2x_n-1}.$$

Partindo de $x_0=2$ e fazendo as contas com frações,

$$x_1=\frac53,\qquad x_2=\frac{34}{21},\qquad x_3=\frac{1597}{987}\approx1{,}6180344.$$

Os números de cima e de baixo são todos da sequência de Fibonacci, $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots$, em que cada termo é a soma dos dois anteriores. Leonardo de Pisa, o Fibonacci, a publicou em 1202 no Liber abaci, num problema sobre a reprodução de coelhos. A razão entre dois termos seguidos se aproxima de $\varphi$: $\frac85=1{,}6$, $\frac{13}8=1{,}625$, $\frac{21}{13}\approx1{,}615$. O método de Newton pula de razão em razão, e cada passo dobra, mais ou menos, o número de casas certas: $x_3$ já acerta seis casas decimais.

Exemplo: uma equação sem fórmula

A equação $e^x+x-3=0$ mistura uma exponencial com um polinômio. Equações assim são chamadas de transcendentes e aparecem em física, química e engenharia. Com $f(x)=e^x+x-3$ e $f'(x)=e^x+1$, partindo de $x_0=0{,}85$:

$$x_1\approx0{,}7932,\qquad x_2\approx0{,}79206,\qquad x_3\approx0{,}7920600.$$

E se a equação for do primeiro grau?

Teste o método em $3x-6=0$. Com $f'(x)=3$ e um chute qualquer $c$:

$$c-\frac{3c-6}{3}=c-(c-2)=2.$$

A resposta exata aparece em um único passo, seja qual for o chute. Faz sentido: o gráfico já é uma reta, e a tangente é ele mesmo.

Quando o método falha

O método é rápido, mas não é infalível. Se a tangente ficar horizontal ($f'(x_n)=0$), ela nunca corta o eixo e a divisão é impossível. Um chute ruim pode jogar a sequência para longe da raiz ou fazê-la pular em ciclos. Na prática, começamos perto da raiz, por exemplo olhando o gráfico, e paramos quando dois chutes seguidos ficam iguais na precisão desejada.

Exercício: faça um passo para √2 a partir de x = 1

$x_1=\frac12\left(1+\frac21\right)=1{,}5$. O resíduo passa de $1^2-2=-1$ para $1{,}5^2-2=0{,}25$: o chute pulou para o outro lado da raiz, mas ficou bem mais perto.

Exercício: monte a fórmula do método para a raiz cúbica de 10

Resolvemos $x^3-10=0$, com $f'(x)=3x^2$: $x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^3-10}{3x_n^2}=\dfrac{2x_n^3+10}{3x_n^2}$. Partindo de $2$: $x_1=\dfrac{26}{12}\approx2{,}1667$, e $\sqrt[3]{10}\approx2{,}1544$.

Fontes: biografia de Newton, MacTutor · diagrama histórico do método de Newton–Raphson.

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