A tangente mede a inclinação da reta que liga o centro do ciclo ao ponto $P$. Ela é lida num eixo vertical que toca o ciclo em $A$ — o eixo das tangentes — e, ao contrário de seno e cosseno, pode assumir qualquer valor real.

A história

A tangente nasceu longe do círculo: nasceu das sombras. Uma vara vertical espetada no chão, o gnômon, projeta uma sombra cujo comprimento depende da altura do Sol — e a razão entre a sombra e a vara é, em linguagem de hoje, uma tangente (ou uma cotangente, conforme a posição da vara). Por causa dos relógios de sol e da hora das orações, os astrônomos do mundo islâmico precisavam dessas razões, e as primeiras tábuas de sombras conhecidas foram feitas em Bagdá por volta de 860. Costuma-se atribuí-las a Habash al-Hasib. Um século e meio depois, al-Biruni reuniu tudo o que se sabia no Tratado exaustivo sobre as sombras. O nome “tangente” só viria em 1583, com Thomas Fincke (veja o capítulo VIII).

As duas sombras dos astrônomos árabes. A vara em pé projeta no chão a sombra reta, que é a cotangente da altura do Sol; a vara presa num muro projeta no muro a sombra versa, que é a tangente.

Fontes: Trigonometric functions (MacTutor) · al-Biruni (MacTutor).

No dia a dia

  • Rampas e telhados. A inclinação de uma rampa, em porcentagem, é $100 \cdot \operatorname{tg}\alpha$: uma rampa de 8% sobe 8 cm a cada metro horizontal.
  • Sombras. Uma haste de altura $h$ iluminada pelo Sol a uma altura angular $\alpha$ faz uma sombra de comprimento $\dfrac{h}{\operatorname{tg}\alpha}$.
A inclinação de uma rampa em porcentagem é 100 vezes a tangente do ângulo.

Teoria

Definição

DefiniçãoTangente e função tangente

Dado um número real $x$, com $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, seja $P$ a sua imagem no ciclo. Considere a reta $\overleftrightarrow{OP}$ e seja $T$ a sua intersecção com o eixo das tangentes. A tangente de $x$ (indicamos $\operatorname{tg} x$) é a medida algébrica do segmento $\overline{AT}$.

A função tangente é a função $f\colon D \to \mathbb{R}$ que associa a cada real $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ o real $\overline{AT} = \operatorname{tg} x$, isto é, $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Para $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, o ponto $P$ está em $B$ ou em $B'$, e a reta $\overleftrightarrow{OP}$ fica paralela ao eixo das tangentes. Como não existe o ponto $T$, a $\operatorname{tg} x$ não é definida.

Arraste $P$. A reta $OP$ corta o eixo das tangentes em $T$; a medida algébrica de $\overline{AT}$ é $\operatorname{tg} x$. Perto de $B$ e de $B'$, o ponto $T$ foge para o infinito.

Propriedades

PropriedadePropriedades da função tangente

  1. O domínio da função tangente é $D = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$.
  2. A imagem da função tangente é $\mathbb{R}$: para todo $y$ real existe $x$ real com $\operatorname{tg} x = y$.
  3. Se $x$ é do 1º ou do 3º quadrante, $\operatorname{tg} x$ é positiva.
  4. Se $x$ é do 2º ou do 4º quadrante, $\operatorname{tg} x$ é negativa.
  5. Se $x$ percorre qualquer um dos quatro quadrantes, $\operatorname{tg} x$ é crescente.
  6. A função tangente é periódica e o seu período é $\pi$.
Ver as demonstrações

2. Dado $y \in \mathbb{R}$, considere no eixo das tangentes o ponto $T$ tal que $\overline{AT} = y$. A reta $\overleftrightarrow{OT}$ intercepta o ciclo em dois pontos, $P$ e $P'$, imagens de números reais $x$ cuja tangente é $y$.

3 e 4. No 1º e no 3º quadrantes, a reta $OP$ corta o eixo das tangentes acima de $A$, e $\overline{AT}$ é positiva; no 2º e no 4º, corta abaixo de $A$, e $\overline{AT}$ é negativa.

5. Provemos, por exemplo, quando $x$ percorre o 1º quadrante. Dados $x_1 < x_2$ nesse quadrante, os ângulos centrais satisfazem $\alpha_1 < \alpha_2$. As retas $OP_1$ e $OP_2$ cortam o eixo das tangentes em $T_1$ e $T_2$, e, no triângulo retângulo $OAT$ de cateto fixo $OA = 1$, o cateto oposto cresce com o ângulo em $O$: $\overline{AT_1} < \overline{AT_2}$, isto é, $\operatorname{tg} x_1 < \operatorname{tg} x_2$. Os outros quadrantes são análogos.

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6. Se $\operatorname{tg} x = \overline{AT}$ e $k \in \mathbb{Z}$, então $\operatorname{tg}(x + k\pi) = \overline{AT}$, pois $x$ e $x + k\pi$ têm imagens $P$ e $P'$ coincidentes ou diametralmente opostas no ciclo; assim, $\overleftrightarrow{OP} = \overleftrightarrow{OP'}$ e, portanto, $\overleftrightarrow{OP} \cap c = \overleftrightarrow{OP'} \cap c$. Então, para todo $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$,

$$\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x + k\pi),$$

e a função tangente é periódica. O período é o menor valor positivo de $k\pi$, isto é, $\pi$.

Gráfico: a tangentoide

Quando $x$ percorre $[0, 2\pi]$ e $P$ dá uma volta completa no sentido anti-horário, a medida algébrica $\overline{AT}$ varia assim:

$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\operatorname{tg} x$ $0$ cresce $\nexists$ cresce $0$ cresce $\nexists$ cresce $0$

O gráfico de $f(x) = \operatorname{tg} x$ chama-se tangentoide:

A tangentoide. A faixa destacada, entre $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, contém um período; as retas tracejadas $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ são as assíntotas, onde a tangente não existe.
O ponto $T$ no eixo das tangentes e o gráfico. Em $x = \frac{\pi}{2}$ e $x = \frac{3\pi}{2}$ a tangente não existe.